5.1 Метод Якоби
Дана система линейных уравнений
, (1)
где,
как и раньше,
– квадратная невырожденная матрица.
Матрицу
всегда можно представить в виде
,
где
;
;
.
Тогда матричное уравнение (1) можно переписать в виде:
.
(1a)
Уравнение (1a) преобразуем в реккурентную формулу метода Якоби:
,
k
=
0,1,2,….
(2)
Вычитая
из обеих частей (2)
получим представление (2) в виде:
,
k
= 0,1,2,….
(2a)
Обозначив
и
получим следующие расчетные формулы
метода Якоби:
; 
,
k
=
0,1,2,…. (3)
Вектор
можно взять любой, например, вектор
или нулевой вектор.
Из
(2) можно получить расчетные формулы для
в координатной форме:
; 
1,
... n,
0,
1, ... .(4)
В
качестве критерия остановки расчетов
обычно используют
.
В матричном виде описание одного шага метода следующее:
1)
вычисляем
,
если
,
то вычисление закончены;
2)
находим
;
3)
вычисляем
.
Итерационный процесс сходится, если
(5).
Для
симметричной положительно определенной
матрицы
для
сходимости метода достаточно выполнения
условия
,
1,...,
n,
т.е. условия преобладания главной диагонали матрицы .
В случае, когда (5) не выполнено, необходимо преобразовать систему (1) таким образом, что бы условие сходимости было выполнено.
Задача
Решить
систему уравнений:
при
помощи метода Якоби с точностью
.
Решение.
; 
.
.
Проверим
условие сходимости:
0,756<1.
Условие выполнено. Пусть
(0;
0; 0)T.
Следующие расчеты приведены в таблице.
K |
|
|
|
0 |
3,919 |
(0,866; 0,775; 0,298)T |
(0,866; 0,775; 0,298)T |
1 |
2,449 |
(–0,242; –0,375; –0,571)T |
(0,624; 0,400; –0,273)T |
2 |
1,367 |
(0,406; 0,143; 0,251)T |
(1,030; 0,543; –0,022)T |
.... |
..... |
......... |
......... |
13 |
0,011 |
(–0,002; –0,001; –0,002)T |
(0,892; 0,418; –0,072)T |
14 |
0,007 |
|
|
Так
как
,
вычисления прекращаем.
Ответ: x1 = 0,89; x2 = 0,42; x3 = -0,07.
Примечание.
Если использовать модификацию метода
Якоби с регулировкой шага:
,
где
0,8
(получено подбором), то этот же результат
будет получен на 9-ой итерации.
5.2 Метод Зейделя
Дана система линейных уравнений
,
(1)
где -квадратная невырожденная матрица.
Представив
A
в виде суммы
двух матриц
,
где 
;
,
запишем (1) в виде:
(1a)
Уравнение (1a) преобразуем в реккурентную формулу метода Зейделя:
,
k
=
0,1,2,… (2)
Вычитая
из обеих частей (2)
,
получим представление (2) в виде:
,
k
= 0,1,2,…
(2a)
Обозначив
,
,
получим расчетные формулы метода
Зейделя в матричном виде:
; 
,
0,
1, ... (3).
Из (2) можно получить расчетные формулы для в координатной форме:
,
1,
..., n,
0,
1, ... . (4)
Таким
образом, метод Зейделя отличается от
метода Якоби тем, что, найдя
,
его сразу используют для вычисления
(по начальным
,
,
...,
находят
,
затем, используя
,
,
...,
,
находят
и т.д.).
В
качестве
можно взять любой, например, нулевой
вектор. Критерий остановки расчетов:
.
Условием сходимости метода Зейделя
является
(5).
Если A – симметричная положительно определенная матрица, то итерационный процесс Зейделя сходится всегда.
В матричном виде описание одного шага следующее:
1)
вычисляем
,
если
то вычисления прекращаем;
2)
находим
;
3)
вычисляем
.
Здесь
следует отметить, что при практической
реализации метода Зейделя, как правило,
матрицу
не строят, а для построения очередного
приближения пользуются рекуррентной
формулой (4).
Задача
Решить
систему из п.5.1 при помощи метода Зейделя
с точностью
=
0,01.
Решение.
;
.
Проверим
условие сходимости:
0,888<1.
Условие выполнено.
Пусть
(0;
0; 0)T. Следующие расчеты приведены
в таблице.
K |
|
|
|
0 |
3,919 |
(0,866; 0,423; –0,070)T |
(0,866; 0,423; –0,070)T |
1 |
0,063 |
(0,025; –0,005; –0,001)T |
(0,891; 0,418; –0,071)T |
2 |
0,002 |
|
|
Поскольку
,
вычисления прекращаем.
Ответ: x1 = 0,89; x2 = 0,42; x3 = -0,07.