Литература

[1], гл. III, работа №9.

[4], т. II, гл. VI, §5; §10; §11.

[5], гл. II, §2.18–2.19.

[9], гл. VI, §8–10.

Конспект лекций.

§6 Вычисление определителя матрицы и построение обратной матрицы

6.1 Вычисление определителя

Используя схемы исключения (Гаусса и др.), можно вычислить определитель квадратной матрицы . Поскольку для треугольной и диагональной матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, то при использовании методов Гаусса и Жордана определитель можно получить, перемножив ведущие элементы, определявшиеся в процессе выполнения прямого хода этих методов:

,

где верхний индекс – номер шага.

Если на каком–то шаге процесса ведущий элемент = 0 или близок к нулю, то следует переставить столбцы или строки матрицы так, чтобы на главной диагонали стоял ненулевой элемент. В итоге

,

где k_i для i–го шага вычисляют по формуле:

k_i =

Для вычисления определителя с использованием схем исключения требуется ячеек памяти и арифметических операций, что значительно меньше, чем при вычислении определителя по всевозможным произведениям элементов.

Задача

Вычислить определитель матрицы A, используя метод Гаусса:

A= .

Решение. Поскольку близко к нулю, используем схему с выбором главного элемента (см. п. 4.1.2).

i = 1. Главный элемент = 5,31. Поменяем местами 1–й и 4–й столбцы, чтобы этот элемент стал ведущим, затем вынесем ведущий элемент за знак определителя и получим нули в первом столбце матрицы под диагональным элементом:

.

i = 2. Главный элемент = 3,321. Поменяем местами 2–й и 3–й столбцы, затем вынесем ведущий элемент за знак определителя и получим нули во втором столбце матрицы под диагональным элементом:

.

i = 3. Ведущий элемент = 1,691. Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки, затем вынесем ведущий элемент за знак определителя и получим ноль под ним:

i = 4. Выносим за знак определителя последний ведущий элемент:

Ответ: = -0,18.

6.2 Построение обратной матрицы методом окаймления

Дана невырожденная матрица размерности . Требуется найти обратную матрицу , т.е. такую матрицу, что .

Схема метода окаймления следующая. Рассматриваем матрицы , где , , …, , т.е. каждая следующая матрица получается из предыдущей “окаймлением” предыдущей матрицы строкой и столбцом матрицы . На каждом шаге 1, 2, …, строится матрица , обратная к . При этом, если матрицу представить в форме:

, где ,

то обратная к ней матрица будет иметь вид:

,

где:

– число: ; (1)

– столбец: ; (2)

– строка: ; (3)

– матрица: . (4).

Таким образом, для построения используется , построенная на предыдущем шаге. На –м шаге получаем .

Для упрощения расчетов при следует повторяющиеся элементы: , и вычислять отдельно.

Особенно удобен метод окаймления в случае, когда требуется найти , а матрица известна (здесь – матрица без последней строки и последнего столбца). В этом случае обращение матрицы осуществляется в 1 шаг. Можно рекомендовать этот метод для матриц большой размерности.

Задача

Получить матрицу, обратную матрице , при помощи метода окаймления. Выполнить проверку. Точность вычислений = 0,01.

.

Решение.

. 3; 0,333.

. ; здесь ; = - 4; .

;

;

;

.

Получаем: .

. ; здесь ; ; .

Сначала вычислим произведения

;

.

Теперь найдем ; ;

;

.

Получаем .

. ; (3; –1; 4); (0; 1; 2)^T; .

Вычисляем произведения:

^T.

Теперь находим

-12,321; -0,081;

(0,581; 0,333; –0,083)^T;

(–1,245; 4,726; –1,823);

.

Получаем обратную матрицу

.

Проверки.

;

.

Вывод: , обратная матрица построена верно.

Ответ: .