Виды средних величин и способы их расчёта.
В статистике применяются различные виды средних величин:
Средняя арифметическая
Средняя гармоническая.
Средняя геометрическая.
Средняя квадратическая.
Мода, медиана и др.
Средняя арифметическая (простая и взвешенная)
Средняя величина исчисляется как средняя арифметическая в тех случаях, когда имеются данные об отдельных значениях варьируемого признака.
Свойства средней арифметической
В процессе вычисления и статистико-экономического анализа средней арифметической может оказаться полезным знание некоторых ее математических свойств (без развернутых доказательств).
Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
_
А=А при А=const.
Сумма отклонений отдельных вариант от средней арифметической равна "0". Это свойство средней используется для проверки правильности расчетов, а также дает возможность облегчить вычисление средней арифметической.
_
(Х-Х) =0
и для сгруппированных данных:
_
(Х-Х) *f=0.
Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков (отдельных вариантов) от средней арифметической есть число наименьшее:
_
(Х-Х) 2=min.
И для сгруппированных данных:
_
(Х-Х) 2*f=min.
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая - это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.
Простая средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.
Простая средняя гармоническая вычисляется по формуле:
Х=n/ (1/X).
Показатели вариации и способы их расчёта.
Для
характеристики совокупностей
и исчисленных величин важно
знать, какая вариация изучаемого признака
скрывается за средним.
Для характеристики
колеблемости признака используется
ряд показателей. Наиболее простой из
них - размах вариации.
Размах
вариации -
это разность между наибольшим (
)
и наименьшим (
)
значениями вариантов.
Чтобы дать обобщающую характеристику
распределению отклонений, исчисляют
среднее линейное отклонение d,
которое учитывает различие всех единиц
изучаемой совокупности.
Среднее
линейное отклонение
определяется как средняя арифметическая
из отклонений индивидуальных значений
от средней, без учета знака этих
отклонений:
.
Порядок
расчета среднего линейного отклонения
следующий:
1)по
значениям признака исчисляется средняя
арифметическая:
;
2)
определяются отклонения каждой варианты
от
средней
;
3)
рассчитывается сумма абсолютных величин
отклонений:
;
4)
сумма абсолютных величин отклонений
делится на число значений:
.
Если
данные наблюдения представлены в виде
дискретного ряда распределения с
частотами, среднее линейное отклонение
исчисляется по формуле средней
арифметической взвешенной:
Порядок
расчета среднего линейного отклонения
взвешенного следующий:
1)
вычисляется средняя арифметическая
взвешенная:
;
2)
определяются абсолютные отклонения
вариант от средней /
/;
3)
полученные отклонения умножаются на
частоты
;
4)
находится сумма взвешенных отклонений
без учета знака:
;
5)
сумма взвешенных отклонений делится
на сумму частот:
.