5.3. Метод моментов

Выборочная оценка математического ожидания (среднее значение х)

(5.5)

дисперсии

(5.6)

среднего квадратического отклонения

(5.7)

коэффициента вариации

(5.8)

коэффициента асимметрии

(5.9)

Оценки по формулам (5.6) —(5.9) являются смещенными и в ряде случаев неэффективными.

5.2.2. Оценка дисперсии

Оценка дисперсии по формуле (5.6) имеет отрицательную смещенность, равную в среднем D_x/n. Для ее учета следует правую часть формулы [5.6] умножить на п/(п— 1). В ре­зультате получаем

(5.12)

В соответствии с этим для оценки среднего квадратического отклонения должна использоваться формула

(5.13)

а для оценки коэффициента вариации

(5.14)

Для определения коэффициента асимметрии на основании аналогичных выводов получена формула

(5.15)

Следует отметить, что при п ≥30 во многих гидрологических расчетах с достаточной точностью можно принимать в знамена­теле формул (5.12) —(5.15) не п— 1, а п.

5.2.3. Особенности применения метода моментов

1. Моментные оценки параметров т_х, D_x, σ_х, C_v, C_s, как это следует из формул (5.5), (5.12) — (5.15), не зависят от закона рас­пределения

2. Эмпирическое математическое ожидание или среднее значе­ние является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.

3. Оценки дисперсии, коэффициента вариации и асимметрии смещены. Поправочные множители, которые вводятся в выражения (5.6) — (5.9), ликвидируют погрешность в значениях выборочных моментов μ₂ и μ₃, однако при этом соответствующее исправление оценок C_v и C_s достигается не всегда.

4. Эффективность моментных оценок часто невысока.

Все это позволяет сделать вывод, что применение метода мо­ментов в расчетах стока должно быть ограничено и в некоторых случаях он должен быть заменен методами, дающими оценки бо­лее высокой эффективности.

5.2.4. Оценка случайных погрешностей выборочных числовых характеристик

Погрешность средних значений в общем виде определяется по формуле

(5.16)

где (эквивалентно независимое число членов ряда при их осреднении [1]) определяется по формуле

(5.17)

В этой формуле r_jk - коэффициенты корреляции между j-м и k-м членами ряда; r₁, r₂,..., r_j — соответственно и т.д., т.е. последовательность коэффициентов корре­ляции внутрирядной связи.

При наличии внутрирядных связей только между смежными значениями может быть определено по формуле Алексеева [1] или в несколько другой записи по формуле Румянцева и Сулимова [46]

(5.18)

где — коэффициент корреляции между соседними членами ряда.

В общем случае средняя квадратическая погрешность определения дисперсии по выборочным данным может быть аналогично выражению (5.16) представлена в виде [1]

(5.20)

где называется эквивалентно независимым числом членов ряда при определении дисперсии,

(5.21)

—среднее квадратическое отклонение ²,

(5.22)

— центрированные значения случайной величины [см. формулу (3.25)]; — сумма всех возможных коэффициентов парной корреляции между j-ми и k-ми членами ряда . При нормальной корреляции имеет место равенство [1]

(5.23)

Средняя квадратическая погрешность среднего квадратического отклонения вычисляется по формуле

(5.30)

Средняя квадратическая погрешность определения коэффици­ента вариации в общем случае для распределения Пирсона III типа рассчитывается по формуле [1, 30]

(5.31)

В случае отсутствия внутрирядной корреляции, т.е. при = п_σ = п, из формулы (5.31) следует

(5.32)

Отсюда при отсутствии внутрирядной связи и нормальном за­коне распределения

(5.33)

и при гамма-распределении

(5.34)

Представленные формулы дисперсии C_v имеют теоретический характер. Е. Г. Блохиновым (9) в формулу (5.34) введена поправка, установленная эмпирическим путем. С учетом этой по­правки получаем при . (5.35)