5.3. Метод наибольшего правдоподобия

5.3.1. Общие положения

Метод разработан датским математиком Р. Фишером и впер­вые в отечественной гидрологии применен С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем для определения параметров функций обеспеченности стока по исходным рядам с большим коэффициентом вариации. В дальнейшем большой вклад в развитие этого метода в гидрологии внес Е. Г. Блохинов.

Метод основан на следующих положениях: пусть имеем выборку значений X объемом в п членов; плотностью распределения вероятностей X является функция f(x, а), зависящая, допустим, от одного постоянного параметра а; если задан закон распределения и верно определен параметр а, то вероятность получить значения данного ряда X по параметру а является максимальной.

Функцией правдоподобия называется совместная плотность вероятности, или вероятность получить именно данную выборку при данном а в результате п опытов:

(5.37)

где П — знак произведения.

В случае, если случайная величина X — дискретная с возмож­ными значениями ζ₁, ζ₂,..., ζ_l, а т₁, т₂, . . ., т_l — соответственно число опытных значений X, равных ζ₁, ζ₂,..., то функция правдо­подобия определяется соотношением

(5.38)

где P_i(a) =p(X= ζ₁).

В этом случае функция правдоподобия L есть не что иное, как вероятность совместного появления значений x₁, x₂, ..., х_п при данном значении а.

Сущность метода максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра а выбирается такое значение, которое максимизирует функцию правдоподобия. Это значение является функцией x₁, x₂, ..., х_п и называется оценкой наибольшего правдоподобия.

Отсюда, согласно известным правилам дифференциального ис­числения, для нахождения оценки наибольшего правдоподобия не­обходимо решить уравнение

(5.39)

и отобрать то решение а = а(х₁, х₂,…, х_п), которое обращает L в максимум.

Обычно в целях упрощения функцию правдоподобия заменяют ее логарифмом и рассматривают уравнение

(5.40)

При двух неизвестных параметрах a₁ и а₂ их оценки определя­ются по двум совместно решаемым уравнениям:

(5.41)

При т параметрах a_j (j = 1, 2, ..., т) их оценки получают из решений системы т уравнений

(5.42)

Иногда на практике не удается получить решение в аналитическом виде и тогда для нахождения максимума функции правдоподобия прибегают к численным расчетам.

5.3.2. Оценка параметров нормального закона распределения

Оценки параметров нормального закона распределения методом наибольшего правдоподобия совпадают с моментными оценками.

5.3.3. Оценка параметров распределения Пирсона ш типа

Отсюда

(5.53)

Введем обозначение

(5.54)

Тогда

(5.55)

т. е. α, а следовательно, и C_v могут быть установлены по сумме логарифмов исходного ряда. Зависимость между λ, и С_v обычно представляется в виде графика или таблицы C_v = f(λ.) (см., например, работу [39], прилож. 1) в десятичных логарифмах, позволяющих с помощью простых вычислений находить оценку C_v при практических расчетах.

В явном виде коэффициент изменчивости C_v выражается через X следующим соотношением, указанным К. А. Семендяевым [9]:

(5.56)

где λ задают в натуральных логарифмах.

Оценка C_v и C_s методом приближенного наибольшего правдоподобия для распределения Крицкого-Менкеля производится по специальным номограммам, в качестве входа в которые используются значения λ₂ и λ₃, где λ₂ определяется по формуле (5.54), а

(5.57)

Номограммы даны в работе [39], прилож. 1.