5.3.4. Особенности применения метода наибольшего правдоподобия

По сравнению с другими методами оценки числовых характеристик метод наибольшего правдоподобия обладает рядом важных достоинств, главными из которых являются следующие:

1. если для параметра a существует эффективная оценка , то она получается как единственное в этом случае решение уравнения правдоподобия;

2. статистики, найденные методом правдоподобия, основаны на использовании всей информации о данных параметрах, содержащейся в выборке;

3. всегда дает состоятельные оценки.

К недостаткам метода наибольшего правдоподобия, в значительной мере сдерживающих его применение в повседневной практике, относятся:

1) формулы оценки статистических параметров методом наибольшего правдоподобия зависят от закона распределения исследуемой величины. Так как закон распределения во многих случаях устанавливается по самим статистическим характеристикам, то это вносит некоторый элемент неопределенности в расчетную схему метода;

2) расчеты методом наибольшего правдоподобия нередко весьма трудоемки и возможны лишь при наличии ЭВМ. Правда в последние годы для гамма-функции и закона распределения Крицкого-Менкеля разработан ряд таблиц и номограмм, в значительной степени облегчающих ручной счет [42, 63].

5.4. Метод квантилей (графоаналитический метод алексеева)

Большое распространение для определения статистических параметров распределения с 1960 г. получил метод квантилей, предложенный Г. А. Алексеевым [2].

Метод основан на определении параметров кривых распреде­ления непосредственно по сглаженной эмпирической кривой обес­печенности. При этом выборочные параметры находятся как соответствующие функции от выборочных квантилей¹ х_Р, отвечающих заданному уровню вероятности повышения.

Порядок расчета при применении метода квантилей Г. А. Алексеева применительно к кривой обеспеченности Пирсона III типа, сводится к следующему.

Рисунок

1. В поле клетчатки вероятности строится эмпирическая кривая обеспеченности ряда X. В поле эмпирических точек проводится плавная осредняющая линия.

2. По формуле

(5.58)

где — квантили эмпирической кривой обеспеченности, обеспеченность которых 5, 50, 95 %, вычисляется коэффициент скошенности.

3. По таблице C_s = f(S) (см., например, работу [63], прилож. 5), разработанной для биномиального закона распределения, определяется коэффициент асимметрии (между S и С_s — функциональная связь, приведенная на рис. 5.3).

4. По формуле

(5.59)

определяется среднее квадратическое отклонение.

Здесь t₅ и t₉₅ — нормированные отклонения от среднего, определяемые по С_е и данным вероятностям 5 и 95 % (см., например, работу [63], прилож. 5).

5. По формуле

(5.60)

находится оценка математического ожидания.

Следует отметить, что метод очень прост в использовании, и во многих случаях на его основе можно получить результаты расчетов, не уступающие по точности другим методам.

Вместе с тем метод имеет и ряд серьезных недостатков:

1. он субъективен, так как во многом зависит от того, как проведут сглаживающую эмпирическую кривую обеспеченности. При коротком ряде распределения и значительном разбросе точек в поле графика клетчатки вероятностей разные авторы могут провести сглаживающую линию по-разному;

2. большое влияние на результаты расчетов оказывают отдельные точки, расположенные в краевых частях графика;

3. обычно при расчетах принимается фиксированное соотношение C_s/C_v. В данном случае это соотношение существенно меняется для различных створов. Поэтому при картировании статистических характеристик возникает необходимость в картировании третьего параметра C_s, в то время как обычно картируются только два параметра х и C_v.

1 Квантиль – значение x=x_n, при котором функция распределения принимает заданное значение Р.