2.4. Расстояние между нечеткими множествами и индексы нечеткости
Пусть A , B и C – конечные нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X . Введем понятие расстояния ρ A , B между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:
ρ A , B ≥ 0 – неотрицательность;
ρ A , B = ρ B , A – симметричность;
ρ A , B ≤ ρ A , C + ρ B , C – транзитивность;
ρ A , A = 0 – самоподобие.
Расстояние Хемминга(линейное расстояние) определяется как:
ρ A , B = ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i , 0 ≤ ρ A , B ≤ n .
Относительное расстояние Хемминга определяется как:
ρ rel A , B = 1 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i = 1 n ρ A , B , 0 ≤ ρ rel A , B ≤ 1 .
Евклидово (квадратичное расстояние) определяется как:
e A , B = ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i 2 , 0 ≤ e A , B ≤ n .
Относительное Евклидово расстояние определяется как:
e rel A , B = 1 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i 2 = e A , B n , 0 ≤ e rel A , B ≤ 1 .
В случае бесконечных счетных нечетких множеств A , B расстояние Хемминга и квадратичное расстояние определяются аналогично, с учетом сходимости соответствующих сумм:
ρ A , B = lim n → ∞ ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i , ρ rel A , B = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i ,
e A , B = lim n → ∞ ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i 2 , e rel A , B = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ B x i 2 .
В случае бесконечных несчетных нечетких множеств A , B , с ограниченным носителем a ; b , расстояние Хемминга и квадратичное расстояние определяются следующим образом:
ρ A , B = ∫ a b μ A x − μ B x dx , ρ rel A , B = 1 b − a ∫ a b μ A x − μ B x dx ,
e A , B = ∫ a b μ A x − μ B x 2 dx , e rel A , B = 1 b − a ∫ a b μ A x − μ B x 2 dx .
В случае бесконечных несчетных нечетких множеств A , B , носители которых неограниченны (варианты − ∞ ; a , a ; ∞ , − ∞ ; + ∞ , расстояние Хемминга и квадратичное расстояние определяются аналогично с условием сходимости соответствующих несобственных интегралов:
ρ A , B = ∫ − ∞ a μ A x − μ B x dx , ρ A , B = ∫ a ∞ μ A x − μ B x dx , ρ A , B = ∫ − ∞ ∞ μ A x − μ B x dx , e A, B = ∫ − ∞ a μ A x − μ B x 2 dx , e A , B = ∫ a ∞ μ A x − μ B x 2 dx , e A , B = ∫ − ∞ ∞ μ A x − μ B x 2 dx .
При задании несчетных нечетких множеств с неограниченными носителями относительные оценкиρ rel A , B и e rel A , B в качестве меры расстояний между нечеткими множествами не используются. Однако, если это необходимо, то относительную меру расстояния можно ввести, используя другое определение или другое понятие сходимости [26].
Выбор того или иного расстояния – абсолютного или относительного, Хемминга или Евклидова зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каждое из этих расстояний обладает определенными преимуществами и недостатками, которые становятся очевидными при практическом решении той или иной технической задачи. В зависимости от специфики решаемой проблемы для нечетких множеств можно ввести и другие понятия меры расстояния [17], [26].
Пример. A = 0,1 / 1 + 0,5 / 2 + 1 / 3 , B = 0,2 / 2 + 1 / 3 + 0,7 / 4 .
ρ A , B = 0,1 − 0 + 0,5 − 0,2 + 1 − 1 + 0 − 0,7 = 0,1 + 0,3 + 0 + 0,7 = 1,1 .
ρ rel A , B = 1 4 0,1 − 0 + 0,5 − 0,2 + 1 − 1 + 0 − 0,7 = 1 4 0,1 + 0,3 + 0 + 0,7 = 0, 275 .
e A , B = 0,1 − 0 2 + 0,5 − 0,2 2 + 1 − 1 2 + 0 − 0,7 2 = 0, 01 + 0, 09 + 0 + 0, 49 = 0, 768 .
e rel A , B = 0,1 − 0 2 + 0,5 − 0,2 2 + 1 − 1 2 + 0 − 0,7 2 4 = 0, 01 + 0, 09 + 0 + 0, 49 4 = 0, 384 .
Введем далее индекс нечеткостиили показатель размытости нечеткого множества. Если объект x обладает свойством R , порождающим нечеткое множество A лишь в частной мере, т.е. 0 ≤ μ A x≤ 1 , то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта x в отношении свойства R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов A , обладающих свойством R , и классу объектов A ˉ , не обладающих свойством R . Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. μ A x =μ A ˉ x = 0,5 , и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо μ A x = 1 и μ A ˉ x= 0 , либо μ A x = 0 и μ A ˉ x = 1 . В общем случае показатель размытости нечеткого множества A можно определить в виде функционала d A , удовлетворяющего следующим условиям:
d A = 0 тогда, когда A – обычное множество с μ A x ∈ 0 ; 1 ;
d A максимально тогда, когда μ A x = 0,5 для всех ∀ x ∈ X ;
d A ≤ d B , если A является заострением B , т.е. выполняется
μ A x ≤ μ B x , если μ B x < 0,5 , μ A x ≥ μ B x , если μ B x > 0,5 , μ A x ∈ 0 ; 1 , если μ B x = 0,5 ;
d A ≤ d A ˉ – симметричность относительно точек перехода;
d A ∪ B + d A ∩ B = d A + d B .
Рис.2.13. Заострение нечеткого множества
Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются только некоторыми условиями, накладывающими ограничения на функционал d A , либо некоторые условия усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи. Обычно оперируют индексами нечеткости (показателями размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому. Пусть A – нечеткое множество, определенное на универсальном множестве X . Какое обычное множество A ˉ ⊂ X является ближайшим к A , т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A ? Такое множество будет обладать следующей характеристической функцией:
μ A - x i = 0, если μ A x i ≤ 0,5 , 1, если μ A x i > 0,5 .
Обычно принимают μ A - x i = 0 если μ A x i = 0,5 . Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества A .
Линейный индекс нечеткости:
d A = 2 n ρ A , A ˉ для конечного нечеткое множества A ;
d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ A - x i для бесконечного счетного нечеткого множества A ;
d A = 2 b − a ∫ a b μ A x i − μ A - x i dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .
Квадратичный индекс нечеткости:
d A = 2 n e A , A ˉ для конечного нечеткое множества A ;
d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ A - x i 2 для бесконечного счетного нечеткого множества A ;
d A = 2 b − a ∫ a b μ A x i − μ A - x i 2 dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .
Линейный и квадратичный индексы нечеткости нечеткого множества A можно определить, используя операцию дополнения.
Линейный индекс нечеткости с дополнением:
d A = 2 n ∑ i = 1 n min μ A x i ; μ A ˉ x i для конечного нечеткого множества A ;
d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n min μ A x i ; μ A ˉ x i для бесконечного счетного нечеткого множества A ;
d A = 2 b − a ∫ a b min μ A x ; μ A ˉ x dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .
Квадратичный индекс нечеткости с дополнением:
d A = 2 n ∑ i = 1 n min μ A 2 x i ; μ A ˉ 2 x i – для конечного нечеткое множества A ;
d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n min μ A 2 x i ; μ A ˉ 2 x i – для бесконечного счетного нечеткого множестваA ;
d A = 2 b − a ∫ a b min μ A 2 x ; μ A ˉ 2 x dx – для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .
С ближайшим обычным множеством связаны свойства:
A ∩ B ˉ = A ˉ ∩ B ˉ ;
A ∪ B ˉ = A ˉ ∪ B ˉ ;
∀ x ∈ X : μ A x − μ A - x = μ A ∩ A ˉ x .
На основании последнего свойства линейный индекс нечеткости можно представить в следующем виде:
d A = 2 n ∑ i = 1 n ∣ μ A x i − μ A - x i ∣ = 2 n ∑ i = 1 n μ A ∩ A ˉ x i ,
откуда следует, что линейный индекс нечеткости нечеткого подмножества равен линейному индексу нечеткости дополнения этого нечеткого подмножества, т.е. d A = d A _ . Следовательно, операции пересечения и объединения не дают эффекта увеличения или понижения нечеткости.
Векторный индикатор нечеткости – это нечеткое множество с функцией принадлежности 2μ A∩ A ˉ x .
Если система может пребывать в N различных состояниях с вероятностями p 1 ... p N , то энтропиясистемы определяется как:
H p 1 , … , p N = − ∑ i = 1 N p i ln p i .
Энтропия минимальна H = 0 при достоверно известном и неизменном состоянии системы, т.е. когда для одного из состояний p r = 1 , 1 ≤ r ≤ N , а для остальных состояний p i = 0 , i ≠ r , i ∈ 1 ; 2 ; . . . ; N − 1 ;N . Энтропия максимальна H = ln N при равновероятных состояниях системы p 1 = p 2 = … = p N = 1 N . Таким образом, мерой неопределенности состояния системы может служить следующая характеристика, меняющаяся в интервале 0 ≤ H ≤ 1 :
H p 1 , … , p N = − 1 ln N ∑ i = 1 N p i ln p i
Если нечеткое множество A задано на конечном счетном универсальном множестве X , то степень нечеткости данного нечеткого множества можно оценить через энтропию. При этом для всех Nэлементов носителя нечеткого множества S A вводится частота:
π A x i = μ A x i ∑ i = 1 N μ A x i , i = 1 … N .
Очевидно, что ∑ i = 1 N π A x i = 1 . Это позволяет рассматривать введенную частоту как аналог вероятности и по аналогии посчитать энтропию нечеткости данного множества:
H π A x 1 , … , π A x N = − 1 ln N ∑ i = 1 N π A x i ln π A x i .