2.3. Операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве X . Говорят, что Aсодержится в B , или B включает A , т.е. A ⊂ B , если ∀ x ∈ X μ A x ≤ μ B x . Иногда используют термин «доминирование», т.е. B доминирует A при A ⊂ B .

Рис.2.5. Включение (доминирование) нечетких множеств

Равенство. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве X . Говорят, что A и Bравны, т.е. A = B , если ∀ x ∈ X μ A x = μ B x . В противном случае A ≠ B .

Рис.2.6. Равенство нечетких множеств

Дополнение. Пусть A и B – нечеткие множества с множеством принадлежностей характеристических функций M = 0 ; 1 , заданные на универсальном множестве X . Говорят, что A и Bдополняют друг друга, т.е. A = B _ или B = A _ , если ∀ x ∈ X μ A x = 1 − μ B x . Очевидно следствиеA _ = A – так называемое свойство инволюции.

Рис.2.7. Дополнение нечетких множеств

Пересечение нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , – это наибольшее нечеткое множество A ∩ B , содержащееся одновременно и в A , и в B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∩ B x = min μ A x ; μ B x .

Рис.2.8. Пересечение нечетких множеств

Рис.2.9. Объединение нечетких множеств

Объединение нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , – это наименьшее нечеткое множество A ∪ B , включающее как A , так и B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∪ B x = max μ A x ; μ B x .

Разность нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , – это нечеткое множество A ∖ B = A ∩ B _ с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∖ B x = μ A ∩ B _ x = min μ A x ; 1 − μ B x .

Рис.2.10. Разность нечетких множеств

Симметрическая разность нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , – это нечеткое множество A − B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A-B x = μ A x − μ B x .

      

Рис.2.11. Симметрическая разность и дизъюнктивная сумма нечетких множеств

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , – это нечеткое множество A ⊕ B = A ∖ B ∪ B ∖ A = A ∩ B _ ∪ A _ ∩ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⊕ B x = max min μ A x ; 1 − μ B x ;min 1 − μ A x ; μ B x .

Пример.Пусть на универсальном множестве X заданы следующие нечеткие подмножества:

A = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0 / x 3 + 1 / x 4 ,

B = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,1 / x 3 + 1 / x 4 ,

C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,2 / x 3 + 0,9 / x 4 .

В данном случае имеем следующие результаты операций.

Включение: A ⊂ B , т.е. A содержится в B или B доминирует A , поскольку для всех элементов множеств A , B выполняется условие доминирования B над A , μ A x ≤ μ B x . Пары A ; C и B ; Cпредставляют пары недоминируемых нечетких множеств, так как условие доминирования не выполняются для элемента x 3 .

Равенство: A ≠ B ≠ C . Нечеткие множества неравны, так как для не выполняются условия равенства: ∀ x ∈ X μ A x = μ B x , что аналогично μ A x i = μ B x i , i = 1,2 ,3 ,4 ; ∀ x ∈ X μ A x = μ C x , что аналогично μ A x i = μ C x i , i = 1,2 ,3 ,4 ; ∀ x ∈ X μ B x = μ C x , что аналогично μ B x i = μ C x i , i = 1,2 ,3,4 .

Дополнение:

A _ = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 1 / x 3 + 0 / x 4 ,

где элементы A _ определяются как μ A _ x i = 1 − μ A x i ,

B _ = 0,3 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,9 / x 3 + 0 / x 4 ,

где элементы B _ определяются как μ B _ x i = 1 − μ B x i ,

C _ = 0,9 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,8 / x 3 + 0,1 / x 4 ,

где элементы C _ определяются как μ C _ x i = 1 − μ C x i .

Пересечение:

A ∩ B = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0 / x 3 + 1 / x 4 ,

где элементы нечеткого множества A ∩ B определяются как:

μ A ∩ B x 1 = min μ A x 1 ; μ B x 1 = min 0,4 ; 0,7 = 0,4 ,

μ A ∩ B x 2 = min μ A x 2 ; μ B x 2 = min 0,2 ; 0,9 = 0,2 ,

μ A ∩ B x 3 = min μ A x 3 ; μ B x 3 = min 0 ; 0,1 = 0 ,

μ A ∩ B x 4 = min μ A x 4 ; μ B x 4 = min 1 ; 1 = 1 .

Аналогично определяются нечеткие множества B ∩ C и A ∩ C :

B ∩ C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0,9 / x 4 ,

A ∩ C = 0,1 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0,2 / x 3 + 0,9 / x 4 .

Объединение:

A ∪ B = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,1 / x 3 + 1 / x 4 ,

где элементы нечеткого множества A ∪ B определяются как:

μ A ∪ B x 1 = max μ A x 1 ; μ B x 1 = max 0,4 ; 0,7 = 0,7 ,

μ A ∪ B x 2 = max μ A x 2 ; μ B x 2 = max 0,2 ; 0,9 = 0,9 ,

μ A ∪ B x 3 = max μ A x 3 ; μ B x 3 = max 0 ; 0,1 = 0,1 ,

μ A ∪ B x 4 = max μ A x 4 ; μ B x 4 = max 1 ; 1 = 1 .

Аналогично определяются нечеткие множества B ∪ C и A ∪ C :

B ∪ C = 0,7 / x 1 + 0,9 / x 2 + 0,2 / x 3 + 1 / x 4 ,

A ∪ C = 0,4 / x 1 + 0,2 / x 2 + 0,2 / x 3 + 1 / x 4 .

Разность:

A ∖ B = A ∩ B _ = 0,3 / x 1 + 0,1 / x 2 + 0 / x 3 + 0 / x 4 ,

где элементы нечеткого множества A ∖ B определяются как:

μ A / B x 1 = μ A ∩ B - x 1 = min μ A x 1 ; μ B _ x 1 = min 0,4 ; 0,3 = 0,3 ,

μ A ∖ B x 2 = μ A ∩ B - x 2 = min μ A x 2 ; μ B _ x 2 = min 0,2 ; 0,1 = 0,1 ,

μ A ∖ B x 3 = μ A ∩ B - x 3 = min μ A x 3 ; μ B _ x 3 = min 0 ; 0,9 = 0 ,

μ A ∖ B x 4 = μ A ∩ B - x 4 = min μ A x 4 ; μ B _ x 4 = min 1 ; 0 = 0 .

Аналогичным образом определяется нечеткое множество B / A :

B ∖ A = B ∩ A _ = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4 .

Симметрическая разность:

A − B = 0,3 / x 1 + 0,7 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4 ,

где элементы нечеткого множества A − B определяются как:

μ A − B x 1 = μ A x 1 − μ B x 1 = 0,4 − 0,7 = 0,3 ,

μ A − B x 2 = μ A x 2 − μ B x 2 = 0,2 − 0,9 = 0,7 ,

μ A − B x 3 = μ A x 3 − μ B x 3 = 0 − 0,1 = 0,1 ,

μ A − B x 4 = μ A x 4 − μ B x 4 = 1 − 1 = 0 .

Дизъюнктивная сумма:

A ⊕ B = 0,6 / x 1 + 0,8 / x 2 + 0,1 / x 3 + 0 / x 4 ,

где элементы нечеткого множества A ⊕ B определяются как:

μ A ⊕ B x 1 = max min μ A x 1 ; 1 − μ B x 1 ;min 1 − μ A x 1 ; μ B x 1 = max min 0,4 ; 1 − 0,7 ;min 1 − 0,4 ; 0,7 =max min 0,4 ; 0,3 ;min 0,6 ; 0,7 = max 0,3 ; 0,6 = 0,6 ,

μ A ⊕ B x 2 = max min μ A x 2 ; 1 − μ B x 2 ;min 1 − μ A x 2 ; μ B x 2 = max min 0,2 ; 1 − 0,9 ;min 1 − 0,2 ; 0,9 =max min 0,2 ; 0,1 ;min 0,8 ; 0,9 = max 0,1 ; 0,8 = 0,8 ,

μ A ⊕ B x 3 = max min μ A x 3 ; 1 − μ B x 3 ;min 1 − μ A x 3 ; μ B x 3 = max min 0 ; 1 − 0,1 ;min 1 − 0 ; 0,1 maxmin 0 ; 0,9 ;min 1 ; 0,1 = max 0 ; 0,1 = 0,1 ,

μ A ⊕ B x 4 = max min μ A x 4 ; 1 − μ B x 4 ;min 1 − μ A x 4 ; μ B x 4 = max min 1 ; 1 − 1 ;min 1 − 1 ; 1 = max min1 ; 0 ;min 0 ; 1 = max 0 ; 0 = 0 .

Пусть A , B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X . Тогда для операций пересечения и объединения нечетких множеств выполняются следующие свойства:

• A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A , – коммутативность;

• A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C , A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C , – ассоциативность;

• A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C , A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C , – дистрибутивность;

• A ∩ A = A , A ∪ A = A , – идемпотентность;

• A ∪ ∅ = A , где ∅ – пустое множество, т.е. μ ∅ x = 0 , ∀ x ∈ X .

• A ∩ ∅ = ∅ ;

• A ∩ X = A ;

• A ∪ X = X ;

• A ∩ B _______ = A _ ∪ B _ , A ∪ B _______ = A _ ∩ B _ , – теоремы Де Моргана.

• A ∩ A _ ≠ ∅ , A ∪ A _ ≠ X , – в отличие от аналогичных свойств для обычного (четкого) множества, заданного на множестве E подмножества D , для которого D ∩ D _ = ∅ , D ∪ D _ = E ,

• A ⊕ B = A ∖ B ∪ B ∖ A .

Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций maxи min . В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им лингвистических связок естественного языка «и», «или», «не» [7]. Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении при помощи нечетких операторов, т.н.треугольных норм и конорм. Следует обратить внимание на то, что представленные выше операции пересечения min μ A x , μ B x и объединения max μ Ax , μ B x , использующиеся как самостоятельно, так и при введении операций разности, симметрической разности и дизъюнктивной суммы – это только один из возможных вариантов определения данных операций, веденный основоположником теории нечетких множеств Л.Заде.

Треугольной нормой ( t -нормой) называется двуместная действительная функция T , отображающая две функции принадлежности нормальных нечетких множеств μ A x , μ B x в одну функцию принадлежности нормального нечеткого множества и удовлетворяющая следующим условиям:

• T 0,0 = 0 , T μ A x ,1 = μ A x , T 1, μ A x = μ A x – ограниченность;

• T μ A x , μ B x ≤ T μ C x , μ D x , если μ A x ≤ μ C x , μ B x ≤ μ D x для ∀ x ∈ X – монотонность;

• T μ A x , μ B x = T μ B x , μ A x – коммутативность;

• T μ A x , T μ B x , μ C x = T T μ A x , μ B x , μ C x – ассоциативность.

Примерами t -норм являются следующие функции:

min μ A x , μ B x – нечеткое «И» по Заде,

max 0 ; μ A x + μ B x − 1 – нечеткое «И» по Лукашевичу,

μ A x ⋅ μ B x – нечеткое «И» по Бандлеру.

Треугольной конормой ( t -конормой) называется двуместная действительная функция T , отображающая две функции принадлежности нормальных нечетких множеств μ A x , μ B x в одну функцию принадлежности нормального нечеткого множества и удовлетворяющая следующим условиям:

• T 1,1 = 1 , T μ A x ,0 = μ A x , T 0, μ A x = μ A x – ограниченность;

• T μ A x , μ B x ≥ T μ C x , μ D x , если μ A x ≤ μ C x , μ B x ≥ μ D x для ∀ x ∈ X – монотонность;

• T μ A x , μ B x = T μ B x , μ A x – коммутативность;

• T μ A x , T μ B x , μ C x = T T μ A x , μ B x , μ C x – ассоциативность.

Примерами t -конорм являются следующие функции:

max μ A x , μ B x – нечеткое «ИЛИ» по Заде,

min 1 ; μ A x + μ B x − 1 – нечеткое «ИЛИ» по Лукашевичу,

μ A x + μ B x − μ A x ⋅ μ B x – нечеткое «ИЛИ» по Бандлеру.

Граничное пересечение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ° B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ° B x = max 0 ; μ A x + μ B x − 1 .

Граничное объединение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ⊗ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⊗ B x = min μ A x ⋅ μ B x ; 1 .

Драстическое пересечение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество AΔB с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ AΔB x = μ B x , если μ A x = 1, μ A x , если μ B x = 1, 0, в остальных случаях .

Драстическое объединение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ∇ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ∇ B x = μ B x , если μ A x = 0, μ A x , если μ B x = 0, 1, в остальных случаях .

λ -сумма нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A + Bλ с функцией принадлежности, заданной как:

∀ x ∈ X μ A + B λ x = λμ A x + 1 − λ μ B x , λ ∈ 0 ; 1 .

Алгебраическое произведение нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A ⋅ B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A ⋅ B x = μ A x ⋅ μ B x .

Алгебраическая сумма нечетких множеств A и B на универсальном множестве X – это нечеткое множество A + B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

∀ x ∈ X μ A + B x = μ A x + μ B x − μ A x ⋅ μ B x .

Пусть A , B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X . Тогда для операций алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств выполняются следующие свойства:

• A ⋅ B = B ⋅ A , A + B = B + A , – коммутативность;

• A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C , A + B + C = A + B + C , – ассоциативность;

• A + ∅ = A ;

• A ⋅ ∅ = ∅ ;

• A ⋅ X = A ;

• A + X = X ;

• A ⋅ B ______ = A _ + B _ , A + B ______ = A _ ⋅ B _ , – теоремы Де Моргана.

• A ⋅ B + C ≠ A ⋅ B + A ⋅ C , A + B ⋅ C ≠ A + B ⋅ A + C , – не выполняется дистрибутивность;

• A ⋅ A ≠ A , A + A ≠ A , – не выполняется идемпотентность;

• A ⋅ A _ ≠ ∅ , A + A _ ≠ X , – в отличие от аналогичных свойств для обычного (четкого) множества, заданного на универсальном множестве E подмножества D , для которого D ∩ D _ = ∅ , D ∪ D _ = E .

Пусть A , B и C – нечеткие множества, заданные на универсальном множестве X . Тогда при совместном использовании операций пересечения, объединения, алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств выполняются следующие свойства:

Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами подробно рассмотрены в [25].

Пример.  Докажем теорему Де Моргана для алгебраического произведения нечетких множеств A ⋅ B______ = A _ + B _ . Обозначим μ A x = a , μ B x = b . Тогда в левой части равенства для функции принадлежности μ A ⋅ B ___ x каждого элемента x имеем μ A ⋅ B ___ x = 1 − ab . В правой части равенства для μ A - + B - x каждого элемента x имеем μ A - + B - x = 1 − a + 1 − b − 1 − a 1 − b = 1 − a + 1 −b − 1 + b + a − ab = 1 − ab . Следовательно равенство верно.

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень αнечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , где α - положительное число. Нечеткое множество A α определяется как:

∀ x ∈ X μ A α x = μ A α x .

Частным случаем возведения в степень являются операции концентрации CON A = A 2 , которая снижает степень нечеткости описания, и растяжения DIL A = A 0,5 , которая повышает степень нечеткости описания (рис.2.12).

Рис.2.12. Изменение степени нечеткости описания

Умножение на число. Если α – положительное число, такое, что α ⋅ max x ∈ X μ A x ≤ 1 , то нечеткое множество αA определяется как:

∀ x ∈ X μ αA x = αμ A x .

Выпуклая комбинация нечетких множеств.Пусть A 1 … A n – нечеткие множества универсальных множеств X 1 … X n соответственно, а ω 1 … ω n – неотрицательные числа, такие, что ∑ i= 1 n ω i = 1 . Выпуклой комбинацией нечетких множеств A 1 … A n называется нечеткое подмножество Aмножества X = X 1 × … × X n с n -мерной функцией принадлежности:

∀ x i ∈ X i μ A x 1 , … , x n = ω 1 μ A 1 x 1 + … + ω n μ A n x n = ∑ i = 1 n ω i μ A i x i .

Пример. A 1 = 0,5 / 1 + 1 / 2 , A 2 = 0,2 / 2 + 1 / 3 , ω 1 = 0,4 , ω 2 = 0,6 .

A = ∑ i ω i μ A i x i = 0,5 ⋅ 0,4 + 0,2 ⋅ 0,6 / 1 ; 2 + 0,5 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 0,6 / 1 ; 3 + 1 ⋅ 0,4 + 0,2 ⋅ 0,6 / 2 ; 2 + 1 ⋅ 0,4 + 1 ⋅0,6 / 2 ; 3 = 0, 32 / 1 ; 2 + 0,8 / 1 ; 3 + 0, 52 / 2 ; 2 + 1 / 2 ; 3

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A 1 … A n – нечеткие подмножества универсальных множеств X 1 … X n соответственно. Декартово произведение A = A 1 × … × A n является нечетким подмножеством множества X = X 1 × … × X n с n -мерной функцией принадлежности:

∀ x i ∈ X i μ A x 1 , … , x n = min μ A 1 x 1 ; … ; μ A n x n .

Пример. A 1 = 0,3 / 1 + 1 / 2 , A 2 = 0,1 / 2 + 1 / 3 + 0,2 / 4 .

A 1 × A 2 = min μ A 1 1 ; μ A 2 2 / 1 ; 2 + min μ A 1 1 ; μ A 2 3 / 1 ; 3 + min μ A 1 1 ; μ A 2 4 / 1 ; 4 + min μ A 1 2 ; μA 2 2 / 2 ; 2 + min μ A 1 2 ; μ A 2 3 / 2 ; 3 + min μ A 1 2 ; μ A 2 4 / 2 ; 4 = min 0,3 ; 0,1 / 1 ; 2 + min 0,3 ; 1 / 1 ; 3 + min0,3 ; 0,2 / 1 ; 4 + min 1 ; 0,1 / 2 ; 2 + min 1 ; 1 / 2 ; 3 + min 1 ; 0,2 / 2 ; 4 = 0,1 / 1 ; 2 + 0,3 / 1 ; 3 + 0,2 / 1 ; 4 + 0,1 / 2 ; 2+ 1 / 2 ; 3 + 0,2 / 2 ; 4

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть A – нечеткое множество, определенное на универсальном множестве X и для всех x ∈ X на этом же универсальном множестве X определены нечеткие множества K x . Совокупность всех K x называется ядром оператора Φ увеличения нечеткости. Результатом действия оператора Φ на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Φ A , K = ∪ x ∈ X μ A x K x ,

где μ A x K x – произведение числа μ x на соответствующее нечеткое множество K x для каждого x ∈X .

Пример. X = 1 ; 2 ; 3 ; 4 , A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 0 / 4 , K 1 = 1 / 1 + 0,4 / 2 , K 2 = 1 / 2 + 0,4 / 3 +0,4 / 4 , K 3 = 1 / 3 + 0,5 / 4 , K 4 = 1 / 4 .

Φ A , K = μ A 1 K 1 ∪ μ A 2 K 2 ∪ μ A 3 K 3 ∪ μ 8 A 4 K 4 = 0,8 1 / 1 + 0,4 / 2 ∪ 0,6 1 / 2 + 0,4 / 3 + 0,4 / 4 ∪ 0,21 / 3 + 0,5 / 4 ∪ 0 1 / 4 = 0,8 / 1 + 0, 32 / 2 ∪ 0,6 / 2 + 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4 ∪ 0,2 / 3 + 0,1 / 4 ∪ 0 / 4 = 0,8 / 1 + 0, 32 /2 + 0 / 3 + 0 / 4 ∪ 0 / 1 + 0,6 / 2 + 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4 ∪ 0 / 1 + 0 / 2 + 0,2 / 3 + 0,1 / 4 ∪ 0 / 1 + 0 / 2 + 0 / 3 + 0 / 4 =max 0,8 ; 0 ; 0 ; 0 / 1 + max 0, 32 ; 0,6 ; 0 ; 0 / 2 + max 0 ; 0, 24 ; 0,2 ; 0 / 3 + max 0 ; 0, 24 ; 0,1 ; 0 / 4 = 0,8 / 1 + 0,6 / 2+ 0, 24 / 3 + 0, 24 / 4

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X ,называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , член 0,2 / 3 в множество A 0,5 не входит, так как значение его функции принадлежности не удовлетворяет множеству уровня α = 0,5 .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то A α 1 ≤ A α 2 , т.е. мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A , может быть представлено объединением всех своих α -уровневых множеств:

A = ∪ α ∈ 0 ; 1 α / x ∣ x ∈ A α .

Пример: Нечеткое множество A = 0,1 / x 1 + 0 / x 2 + 0,7 / x 3 + 1 / x 4 представимо в виде объединения всех своих α -уровневых множеств A 0 = x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 , A 0,1 = x 1 ; x 3 ; x 4 , A 0,7 = x 3 ;x 4 , A 1 = x 4 :

A = 0 / x ∣ x ∈ A 0 ∪ 0,1 / x ∣ x ∈ A 0,1 ∪ 0,7 / x ∣ x ∈ A 0,7 ∪ 1 / x ∣ x ∈ A 1

A = 0 / x 1 + 0 / x 2 + 0 / x 3 + 0 / x 4 ∪ 0,1 / x 1 + 0,1 / x 3 + 0,1 / x 4 ∪ 0,7 / x 3 + 0,7 / x 4 ∪ 1 / x 4 .

A = 0,1 / x 1 + 0 / x 2 + 0,7 / x 3 + 1 / x 4 .