2.2. Рівняння Нав'є-Стокса

Моделювання рідини представляють, як систему частинок, з яких формується сама рідина. Кожна частка – це маленька кулька води, яка має масу , об’єм і швидкість . Щоб проінтегрувати систему вперед у часі, необхідно окреслити дії сил на кожну частку. Другий закон Ньютона описує те, як частки прискорюються і звідки виникає рух:

де – маса матеріальної точки,

– прискорення,

– сила, прикладена до тіла.

Під прискоренням розуміється похідна Лагранжа по швидкості:

де – оператор набла.

Оператор набла – диференціальний оператор першого порядку, компоненти якого являються частинними похідними по координатам. Для тривимірного евклідового простору в прямокутній декартовій системі координат оператор набла визначається наступним чином:

де – одиничні вектори по осям відповідно.

Розглянемо, які сили діють на частинки:

1. У системі присутня гравітація, тобто на частку діє сила тяжіння.

2. Області високого тиску тиснуть на області з низьким тиском. Звернемо увагу на загальну силу, що діє на частинку, тому що, наприклад, якщо тиск в усіх напрямках однаковий, то загальна сила буде дорівнювати 0. Насправді, важливі тільки ті ситуації, коли з одного боку частинки тиск більше, ніж з іншого. У цьому випадку частка починає рухатися в бік, де тиск нижче. Зміну сили найпростіше порахувати, взявши негативний градієнт тиску. Також необхідно проінтегрувати систему по всьому об'єму, що можна зробити помноживши весь вираз на .

3. Виникає ще одна сила через в'язкість рідини. В'язкі рідини намагаються протистояти деформації. Цю силу можна розглядати як деяку силу, яка намагається змусити частку рухатися з середньою швидкістю навколишнього потоку, тобто вона намагається мінімізувати різницю у швидкості між довколишніми до неї частинками. Тут також необхідно проінтегрувати систему по всьому об'єму і помножити її на динамічний коефіцієнт в'язкого тертя.

Все вищеописане витікає в наступну формулу:

де – коефіцієнт в'язкого тертя,

– тиск.

Розділивши обидві частини рівняння на та підставивши

одержимо:

де – густина частинки.

У підсумку, приходимо до системи рівнянь Нав'є-Стокса, записаної в загальному вигляді:

де – векторний оператор Лапласа,

– суперпозиція діючих на частинку сил.

Верхня частина системи рівнянь Нав'є-Стокса – рівняння руху в'язкої ньютонівської рідини, нижня частина – рівняння нерозривності.

Рівняння нерозривності виражає собою закон збереження маси в елементарному обсязі, тобто безперервність потоку рідини чи газу. Його диференціальна форма:

де – щільність рідини,

– вектор швидкості рідини в точці з координатами , в момент часу .

Вектор називають щільністю потоку рідини. Його напрямок збігається з напрямком течії рідини, а абсолютна величина визначає кількість речовини, що протікає в одиницю часу через одиницю площі, розташовану перпендикулярно вектору швидкості.

Для однорідних нестискуваних рідин . Тому рівняння приймає вид: