2.4. Метод решітчастих рівнянь Больцмана
Традиційно для вирішення завдань гідродинаміки застосовуються обчислювальні методи, засновані на чисельному рішенні рівнянь Нав'є-Стокса. Однак в останні 20 років розвивається альтернативний підхід – метод решітчастих рівнянь Больцмана (англ. Lattice Boltzmann method, LBM), в якому для моделювання течії в'язкої ньютонівської рідини вирішується дискретизоване рівняння Больцмана.
В даний час LBM досяг високого рівня розвитку, і його можливості для ряду завдань порівнянні з можливостями традиційних методів розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса. Створені як комерційні (PowerFLOW, XFlow), так і вільно поширювані (Palabos) пакети програм для розрахунку задач обчислювальної гідродинаміки, засновані на LBM.
Цей метод має ряд переваг у порівнянні з традиційним підходом, які проявляються при моделюванні багатофазних і багатокомпонентних течій, а також при обтіканні пористих поверхонь. Крім того, LBM є явним методом, тому природним чином розпаралелюється, що є особливо актуальним у зв'язку з розвитком технологій розрахунків на графічних процесорах.
У зв'язку з цим становить інтерес реалізація методу LBM і його апробація для розрахунку задач обчислювальної гідродинаміки.
Рівняння Больцмана
Кінетичне
рівняння Больцмана для одночасткової
функції розподілу
без урахування зовнішніх сил має вигляд:
(9)
де
– вектор просторових
змінних,
– вектор
швидкості частинки,
- інтеграл
зіткнень.
Макроскопічні
характеристики щільність
і
швидкість середовища
є
моментами функції розподілу і знаходяться
за
допомогою інтегрування по всіх можливих
швидкостям
.
Дискретизація
рівняння (9) проводиться в два етапи: на
першому етапі здійснюється дискретизація
в просторі швидкостей, а на другому
етапі – дискретизація за часом і
просторовим змінним. Для дискретизації
в просторі швидкостей задається кінцева
сукупність векторів можливих швидкостей
,
кожному вектору із заданої сукупності
ставиться у відповідність функція
розподілу, що залежить тільки від
і
:
Таким
чином, рівняння (9) зводиться до системи
рівнянь в частинних похідних відносно
:
(10)
- рівняння Больцмана з дискретними швидкостями.
З цього
рівняння, розглядаючи рівномірну за
часом і за просторовими змінними сітку
і припускаючи, що частки за крок по часу
перелітають в сусідні вузли просторової
решітки (тобто розмір комірки
),
може бути отримано за допомогою
решітчастого рівняння Больцмана:
У методах LBM оператор зіткнення зазвичай використовується у вигляді BGK (Bhatnagar-Gross-Krook) наближення, яке являє собою лінійну релаксацію до локальної рівноваги:
де
–
безрозмірний
параметр релаксації,
–
рівноважна
функція розподілу, що має вигляд:
де
– вагові коефіцієнти, різні для різних
моделей решіток і підбираються так, щоб
при застосуванні до рівняння (10) процедури
розкладання Чепмена-Енскога виходили
рівняння Нав'є-Стокса,
– базова
швидкість в комірці (
і
- крок сітки і крок по часу відповідно).
Такий вид є розкладанням рівноважної функції розподілу Максвелла за швидкостями до членів третього порядку малості.
Щільність
рідини
і швидкість
у вузлі можуть бути обчислені відповідно
до формул:
Тиск розраховується за формулою:
