Лекция №7. Меры вариации признака и их значение в статистическом исследовании

Наряду со средними величинами большое практическое значение имеет изучение отклонений от средних. От размера и распределения отклонений зависят представительность и надежность средних характеристик. Поэтому средние дополняют показателями, измеряющими отклонения, то есть показателями (мерами) вариации признака.

К наиболее часто применяемым мерам вариации относят:

- размах вариации;

- среднее линейное отклонение;

- дисперсию;

- среднее квадратическое отклонение (стандарт);

- коэффициент вариации (стандарт в масштабе средней).

Размах вариации исчисляют как разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака:

(12)

Под «отклонением от средней» понимается разность между вариантой данной совокупности и средней (арифметической). При этом среднюю вычисляют из варианты (а не наоборот) и если отклонение положительное или отрицательное, то соответственно варианта больше или меньше средней данной совокупности.

Так как согласно одному из свойств средней арифметической, сумма отклонений от нее равна нулю, в качестве среднего линейного отклонения рассматривается средняя арифметическая абсолютных величин отклонений от ней (арифметической):

(13)

Дисперсия рассматривается как средний квадрат отклонений (от средней арифметической):

(14)

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называют средним квадратическим отклонением или стандартом.

(15)

Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех же единицах (в тех же именованных числах), что и варианты, что и средняя арифметическая. Оно рассматривается как абсолютная мера вариации.

Коэффициент вариации определяется:

, или, чаще выражается в %:

(16)

Коэффициент вариации рассматривается как относительная мера вариации и позволяет анализировать вариационные ряды с разными уровнями средних.

В виду «безразмерности», то есть в виду того, что коэффициент вариации является величиной относительной возможно сравнение вариации различных явлений (выражаемых различными именованными единицами).

Коэффициент вариации может рассматриваться как критерий «типичности» или «представительности» средней арифметической: чем меньше υ, тем «типичней» или «представительней» средняя.

Свойства дисперсии.

1. Если из всех вариант вычесть какое-либо число А, то дисперсия не изменится:

(17)

2. Если все значения вариант разделить на какое-либо число «b», то дисперсия уменьшится в «b²» раз:

(18)

3. Если исчислить средний квадрат отклонений от какого-либо числа «с» не равного средней арифметической, то он будет больше дисперсии:

(19)

При этом больше на вполне определенную величину, на квадрат разности между средней и этой величиной :

(20)

Если в (20) положить с=0, то получится весьма важная в статистике формула:

(21)

то есть дисперсия равна среднему квадрату без квадрата средней. Этим свойством часто пользуются при вычислении дисперсии.

Вычисление дисперсии по способу моментов

При этом дисперсия определяется:

(22)

Внутригрупповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсий. Дисперсия альтернативного признака.

Если статистическая совокупность разбита на группы или части по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: групповые (частные), средняя групповых (частных), межгрупповая.

Общая дисперсия:

(23)

Отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в данной статистической совокупности.

Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, называемой групповой средней (при этом групповая средняя не совпадает с общей средней для всей совокупности).

(24)

Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя групповых дисперсий определяется как средняя взвешенная арифметическая из дисперсий групповых, причем «весами» объемы групп:

(25)

N_i – объемы групп.

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней:

(26)

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней групповых и межгрупповой дисперсии:

(27)

Это соотношение называется правилом сложения дисперсий. Зная два вида дисперсий можно определить третий:

(28)