8. Теоретико-множественный смысл суммы. Ее существование и единственность. Законы сложения

С теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(A), b = n(B)

a + b = n(A ᴗ B), A ᴖ B = Ø, n(A) = a, n(B) = b

a +b = c

a – слагаемое (1)

b – слагаемое (2)

c – значение суммы

Сумма всегда существует и является единственной, это следует из существования и единственности объединения множеств.

Законы сложения:

1.Коммуникативный

(V a, b Z₊) a + b = b + a

Для любых двух целых неотрицательных чисел справедливо равенство a + b = b + a.

Доказательство:

n(A) = a, n(B) = b, A ᴖ B = Ø

a + b = n(A ᴗ B)

b + a = n(B ᴗ A)

A ᴗ B = B ᴗ A

n(A ᴗ B) = n(B ᴗ A)

a + b = b + a

2.Ассоциативный

(V a, b, c Z₊) (a + b) + c = a + (b + c)

Доказательство аналогично

3.Сложение с 0

Для любого целого неотрицательного числа справедливо равенство а + 0 = а.

(V a Z₊) а + 0 = а

Доказательство:

а + 0 = n(A ᴗ Ø) = n(A) = а

9. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел, ее единственность

С теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множеством А, если а = n(A), b = n(B) и В с А.

Разностью двух целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число с, что а = b + c.

a – b = c < = > a = b + c

a – b = c

a – уменьшаемое

b – вычитаемое

c – значение разности

Теорема о существовании разности

Разность двух целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда а ≥ b.

(Ǝ a – b) < = > а ≥ b

Доказательство:

1) a = b = > a –b = 0, 0 Z₊ = > (Ǝ a – b)

a > b = > (Ǝ c N) a = b + c = > (Ǝ a – b)

2) (Ǝ a – b) = > a – b = c = > a = b + c

(c Z₊) = > c ≥ 0 = > a – b ≥ 0 = > a ≥ b

Если разность существует, то она единственная.

(Ǝ a – b) = > (a – b) – единственная

Доказательство:

a – b = c₁ a – b = c₂ c₁ ≠ c₂

a = b + c₁ a = b + c₂

b + c₁ = b + c₂

c₁ = c₂ - противоречие с условием

Правила:

1. Правило вычитания числа из суммы

(a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c)

2. Вычитание суммы из числа

a – (b + c) = a – b – c = a – c – b

10. Теоретико-множественный смысл произведения двух целых неотрицательных чисел. Законы умножения. Определение произведения через сумму

Умножение – сложение одинаковых слагаемых.

Если а, b – целые неотрицательные числа, то произведением ab называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) ab = a + a + a + … + a, если b > 1

2) ab = a, если b = 1

3) ab = 0, если b = 0

ab

A₁, A₂, A₃, …, A_b

n(A₁) = n(A₂) = n(A₃) = … = n(A_b)

A₁ ᴖ A₂ = Ø, A₁ ᴖ A_b = Ø

A = A₁ ᴗ A₂ ᴗ A₃ ᴗ … ᴗ A_b

n(A) = n(A₁ ᴗ A₂ ᴗ A₃ ᴗ … ᴗ A_b)

С теоретико-множественной позиции ab (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

А {1; 2; 3} B {a; b}

A×B = {(1;a); (1;b); (2;a); (2;b); (3;a); (3;b)}

n(A) = 3 n(B) = 2

n(A×B) = 6

3*2 = 6

n(A) * n(B) = n(A×B)

С теоретико-множественной точки зрения ab целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A) = а, n(B) = b.

ab = n(A) * n(B) = n(A×B)

Компоненты:

ab=c

a – I множитель

b – II множитель

c – значение произведения

Чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель.

Произведение двух целых неотрицательных чисел всегда существует и является единственным, это следует из существования и единственности объединения множеств.

Законы умножения:

1.Коммутативный закон

V (a;b Z₊) ab = ba

ab = n(A) * n(B) = n(A×B) n(A) = a и n(B) = b

ba = n(B×A) n(B) = b и n(A) = a

A×B ≠ B×A

n(A×B) = n(B×A) = > ab = ba

2.Ассоциативный закон

V (a, b, c Z₊) (ab)c = a(bc)

Доказательство аналогично

3.Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (вычитания)

V (a, b, c Z₊) (a + b)*c = ac + bc ( (a – b)*c = ac – bc )

Доказательство:

(a + b)*c = n((AᴗB)×C) n(B) = b, n(A) = a, n(C) = c

ac + bc = n(A×CᴗB×C) n(B) = b, n(A) = a, n(C) = c

(AᴗB)×C = A×CᴗB×C = > n((AᴗB)×C) = n(A×CᴗB×C) = > (a + b)*c = ac + bc

4.Умножение с 0

V (a Z₊) а*0 = 0

5.Умножение с единицей

V (a Z₊) а*1 = а