13. Понятие системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Алгоритмы сложения и вычитания в десятичной системе счисления

Система счисления – язык для наименования записи чисел и выполнения действий над ними.

Способы «записи» чисел:

- пальцы рук и ног

- зарубки, шнуры, узлы

Трудности при записи больших чисел, сравнений, действий над ними = > счет стали вести группами по 10, 5, 12, 20 и т.д. элементов. Древневавилонская система (по 60) используется до сих пор.

Десятичная система счисления возникла в Индии в VI веке. Первыми заимствовали эту систему арабы и способствовали ее распространению в Европе. Распространению в России способствовала книга педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная».

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Позиционные – один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Непозиционные – каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим числом в записи числа.

L=50; C=100; D=100; M=1000

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х=a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + … + a₁*10 + a₀, где коэффициенты a_n, a_n-1, … a₁, a₀ принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_n ≠ 0.

Чтобы прочитать многозначное число:

1)разбивают число на классы, отсчитывая справа по три цифры

2)читают, сколько в числе единиц каждого класса, начиная с высшего (названия класса единиц не произносятся)

Многозначные числа записывают по классам, начиная с высшего. Чтобы записать цифрами число:

1)записывают, сколько всего единиц высшего класса в числе

2)записывают, сколько всего единиц следующего класса и т.д.

Для удобства чтения записанного числа часто отделяют один класс от другого небольшим промежутком.

Чтобы сравнить числа, можно рассуждать так:

1)из двух чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое называют позже

2)сравниваем числа поразрядно, начиная с высших разрядов

Сложение

Теоретическая основа:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммуникативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1.Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2.Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше 10, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду;

3.Если сумма больше или равна 10, то представляют ее в виде a₀ + b₀ = 1*10 + c₀; где с₀ – однозначное число; записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к следующему разряду;

4.Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д.. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна 10, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1

Вычитание

Теоретическая основа:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблица сложения однозначных чисел.

Алгоритм вычитания:

1.Записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2.Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду;

3.Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b₀>a₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду;

4.Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду;

5.В следующем разряде повторяем описанный процесс;

6.Вычитание заканчивается, когда произведется вычитание из старшего разряда уменьшаемого.