11. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Его существование и единственность

Если а = n(A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b – это число таких подмножеств;

b – число подмножеств, то частное а:b – это число элементов в каждом подмножестве.

а = n(A)

A₁, A₂, …, A_b

с = а:b = n(A₁) = n(A₂) = … = n(A_b)

A = A₁ ᴗ A₂ ᴗ … ᴗ A_b

a = n(A) = n(A₁ ᴗ A₂ ᴗ … ᴗ A_b) = c + c + c + … + c = cb

Частное при делении целого неотрицательного числа b равно такому числу с, которое при умножении на b дает число а.

а:0 = с < = > a = 0*c

a:b = с

а – делимое

b – делитель

c – значение частного

Необходимое условие существования

Для того, чтобы существовало частное, необходимо чтобы b было меньше или равно а.

(Ǝ а:b) = > b ≤ a

Дано: (Ǝ а:b)

Доказать: b ≤ a

Доказательство:

(Ǝ а:b) = > (Ǝ с N) a = bc

c ≥ 1

cb ≥ b

a ≥ b

Если частное существует, то оно единственно.

(Ǝ а:b) = > (а:b) – единственно

Доказательство:

a:b = c₁ a:b = c₂ c₁ ≠ c₂

a = b*c₁

a = b*c₂ = > b*c₁ = b*c₂ = c₁ = c₂ (противоречит условию)

Правила деления:

1. (a + b):c = a:c + b:c

2. a:(bc) = (a:b):c = (a:c):b

3. a*(b:c) = (a*b):c

12. Натуральное число как результат измерения величин (длины). Определение арифметических действий над натуральными числами – результатами измерения велечин

Величина – общее свойство предметов, выраженных какими-либо величинами.

Величины одного рода или однородные величины – величины, которые выражают одно и то же свойство объектов.

Положения, связанные с однородными величинами:

1.Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений.

2.Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно.

3.Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода.

Для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую называют сумму величин А и В.

Сложение величине коммуникативно и ассоциативно.

4.Величины одного и того же рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А > В.

Разностью величин А и В называется такая величина С = А – В, что А = В + С.

5.Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода.

Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В = х*А, которую называют произведением величины А на число х.

6.Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.

Частным величин А и В называется такое положительное и действительное число х = А:В, что А = х*В.

Измерить величину А – это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х*Е (если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода)).

А – величина

Е – единица величины

х – численное значение величины А при единице величины Е / показывает во сколько раз величина А больше или меньше величины Е, выбранное за единицу измерения.

Если А = х*Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = m_Е(А).

Скалярная величины – величина, определяющаяся одним численным значением.

Положительная скалярная величина – скалярная величина, принимающая только положительные значения при выбранной единице измерения.

Натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из сколько единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

Сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b.

a + b = m_E(y) + m_E(z) = m_E(y + z)

Разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z + y = x, если мера длины отрезка х равна а, то мера длины отрезка у равна b.

a – b = m_E(x) + m_E(y) = m_E(x – y)

Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение аb – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁.

ab = m_E(x) * m_E1(Е) = m_E1(x)

Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b – мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а:b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁.

а:b = m_E(x) : m_E(Е₁) = m_E1(x)