3. Взаимное расположение двух плоскостей.

3.1. Параллельные плоскости.

О пр.: Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

пл. R (m∩n)//

пл. Q (m'∩n')→

m//m'

n//n'

Е сли плоскости заданны следами, то у параллельных плоскостей одноименные следы параллельны.

R//Q→

R_П1//Q_П1

R_П2//Q_П2

3.2. Пересечение плоскостей.

Если плоскости не параллельны, то они пересекаются.

Построение линии пересечения двух плоскостей – первая основная позиционная задача начертательной геометрии.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поэтому:

Опр.: Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, достаточно построить две точки, принадлежащие той и другой плоскости.

4. Пересечение плоскостей

4.1. Пересечение плоскости общего положения с плоскостью

частного положения.

Правило 1. Если одна из пересекающихся плоскостей - проецирующая, то одна из проекций линии пересечения определяется сразу: она лежит на следе проецирующей плоскости, обладающим собирательным свойством.

Правило 2. Плоскость уровня пересекает любую другую плоскость по прямой уровня:

1. Горизонтальная – по горизонтали.

2. Фронтальная – по фронтали.

3. Профильная – по профильной прямой.

4.2. Пересечение двух плоскостей общего положения.

П остроение линии пересечения плоскостей общего положения также сводится к нахождению проекций двух точек, одновременно принадлежащих каждой из пересекающихся плоскостей.

R_П1∩Q_П1→1

R_П2∩Q_П2→2

R∩Q→1.2

П ример. Построить линию пересечения плоскостей АВС и (m//n).

Решение: Для определения двух общих точек заданных плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня Т и Q. Вспомогательная плоскость Q пересекает заданные плоскости по двум горизонталям, которые в своем пересечении дают точку 1, общую для плоскостей, заданных треугольником и параллельными прямыми. Вторая вспомогательная плоскость Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям, дающим в пересечении точку 2. Проводя через точки 1 и 2 прямую, получаем линию пересечения плоскостей.

5. Прямая и плоскость.

5.1. Прямая принадлежит плоскости.

Опр. 1: Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

Опр. 2: Прямая принадлежит плоскости, заданной следами, если следы прямой лежат на следах плоскости.

lпл. R (m//n), т.к. lR, т.к.

АR (m//n), МR_П1,

BR (m//n) NR_П2

5.2. Прямая, параллельная плоскости.

Опр.: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Пример. Через точку М провести прямую, параллельную плоскости ∆АВС.

Дано: ∆АВС;

(·)М.

Решение

1. В плоскости

∆АВС проводим

прямую 1, 2.

2. Через (·) М

проводим пря-

мую l, парал-

лельную прямой 1,2.

5.3. Пересечение прямой с плоскостью.

Данная задача является второй основной позиционной задачей начертательной геометрии.

Опр.: Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти общую точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости.

Порядок (алгоритм) построения точки пересечения (точки встречи) прямой с плоскостью:

1. Через данную прямую АВ провести некоторую вспомогательную плоскость Р (частного положения).

2. Построить линию пересечения МN вспомогательной Р и заданной R плоскостей.

3. Определить точку пересечения прямых заданной АВ и построенной МN.

4. Определить видимость участков прямой АВ.

Дано: Плоскость R, прямая АВ.

Найти: (·) К=АВ∩R.

Решение:

1. АВР

2. MN=P∩R

3. (·) K=MN∩АВ

4. Видимость участков прямой АВ определяется методом конкурирующих точек.

П ример. Найти точку пересечения прямой l с плоскостью ∆АВС (общего положения).

Дано: ∆АВС (общего

положения)

прямая l (общего

положения)

Найти:

(·) К=АВ∩∆АВС.

Решение:

1. lР; РП₂.

2. MN=P∩∆АВС.

3. MN∩l=K.

4. Определяем види-

мость участков прямой l на горизонтальной и фронтальной проекциях методом конкурирующих точек.

5.4. Прямая, перпендикулярная к плоскости.

Это частный случай пересечения прямой с плоскостью.

Опр.: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, и наоборот.

f∩h

fR; hR

AKh

AKf→AKR