1.6.1 Критерій Гурвіца

Достатньою умовою стійкості за Гурвіцом є додатність основної і усіх доповнюючих матриць Гурвіца. Знайдемо передавальну функцію замкнутої системи

(1.12)

Запишемо характеристичне рівняння

(1.13)

Так як всі коефіцієнти додатні то виконується необхідна умова стійкості. Отже, складемо матриці на основі рівняння.

Так як вищеподані визначники додатні то система абсолютно стійка

1.6.2 Критерій Михайлова

Критерій Михайлова відноситься до групи частотних критеріїв стійкості. Критерій Михайлова так само як і критерій Гурвіца заснований на аналізі характеристичного рівняння системи тому за його допомогою можна судити про стійкість замкнутих і розімкнутих систем.

Знайдемо передавальна функцію замкнутої системи керування

. (1.14)

Врахувавши рівність (1.9), отримаємо

(1.15)

Запишемо характеристичне рівняння яке описує автоматичну систему у вигляді:

. (1.16)

Тоді, для нашого випадку маємо

. (1.17)

Виконавши заміну і розклавши отриманий вираз на дійсну і уявну складові, маємо

; (1.18)

. (1.19)

Отже автоматична система керування стійка, якщо при зміні від 0 до характеристичний вектор системи (годограф Михайлова) F(jw) повернеться проти годинникової стрілки на кут 270⁰, не перетворюючись при цьому в нуль. Побудуємо характеристичний вектор

Рисунок 1.5 – Годограф Михайлова

Як бачимо характеристичний вектор починається на додатній півосі P(w) повертається проти годинникової стрілки, проходить через дві чверті і прямує до безмежності в третій чверті.

Отже, враховуючи отримані результати, ми можемо зробити висновок, що система абсолютно стійка.

1.7 Побудова області стійкості системи

Областю стійкості називають область параметрів, що змінюються в кожній точці якої відповідають тільки від’ємні корені характеристичного рівняння. Область стійкості виділяє із всіх можливих параметрів лише ті, при яких система є стійка. Поверхню, що обмежує область стійкості називають межею області стійкості.

Область стійкості будемо будувати за допомогою методу Д-розбиття. Згідно варіанта область стійкості потрібно побудувати в площині двох заданих параметрах і . При цьому всі інші параметри задаються. І тоді характеристичне рівняння системи можна записати в такому вигляді

, (1.20)

де - поліноми від р, коефіцієнти яких не залежать від передавального коефіцієнта і сталої часу .

Характеристичне рівняння системи запишемо у вигляді (в якому виділимо і )

(1.21)

або більш розширений вигляд

. (1.22)

Після підстановки значень отримаємо

(1.23)

Підставивши відповідні значення, отримаємо

(1.24)

Зробимо заміну і після підстановки характеристичне рівняння перетворюється в рівність, це робиться для виділення дійсної і уявної частини

(1.25)

Врахувавши, що

(1.26)

виділимо дійсну і уявну частину і запишемо систему рівнянь в такому вигляді

(1.27)

Для нашого випадку система рівнянь (1.27) запишеться

(1.28)

Врахувавши заміну ,отримаємо розв’язок системи рівнянь у такому вигляді

Врахувавши заміну ,отримаємо розв’язок системи рівнянь у такому вигляді

Підставивши в ці рівняння значення від нуля до , одержимо основну межу стійкості, при чому

Перед Тим як виконувати штриховку обчислимо головний визначник

Так як ∆<0 при будь яких w, та штриховку основної межі стійкості проводять справа при русі вздовж кривої в сторону збільшення w.

Основну межу доповнимо особливими прямими, які в нашому випадку знаходиться

де - члени характеристичного рівняння (1.30) - вираз при 3 порядку, а - при нульовому. Тоді для нашого випадку маємо

(1.27)

Отримали рівняння особливих прямих.

Побудуємо область стійкості (Рисунок 1.5).

А

В

Рисунок 1.5 – Область стійкості АСК

Побудуємо в області точку з координатами, що відповідають отриманій автоматичній системі керування – А(0,99 ; 18) Є Д.

Для остаточної достовірності перевіримо стійкість АСК при інших параметрах, що входять в отриману область.

Вибравши з області Д точку з координатами В(5 ; 30), підставляємо значення К і Т у характеристичне рівняння (1.24).

Бачимо, що всі коефіцієнти більші від нуля, отже виконується достатня умова стійкості. Перевіримо стійкість за допомогою критерію Гурвіца

Так як всі визначники більші нуля, то система абсолютно стійка, а отже область стійкості побудована правильно.

_{Для остаточної достовірності перевіримо стійкість АСК при інших параметрах, що входять в отриману область.}

_{Вибравши з області Д точку з координатами В(2 ; 2), підставляємо значення К і Т у характеристичне рівняння (1.24).}

_{Бачимо, що всі коефіцієнти більші від нуля, отже виконується достатня умова стійкості. Перевіримо стійкість за допомогою критерію Гурвіца}

_{Так як всі визначники більші нуля, то система абсолютно стійка, а отже область стійкості побудована правильно.}