Таким образом уравнения движения имеют вид:

, ,

, .

В момент времени

(14)

(15)

Из уравнения (14) , подставим это значение в уравнение (15).

, ,, м.

Следовательно , сек

Из уравнения (14) , м/сек.

Из уравнения (6) , сек.

Из уравнения (7) , м

Мы получили уравнения движения и траекторию тела в параметрической форме , . Выразим время через координату , и подставим в выражение для .

. Это парабола.

Ответ: м. .

Задача д6. Использование теоремы об изменении кинетической энергии.

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней =0.3 м, =0.1 м, =0.2 м, =0.1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу), грузов 3 и 4 (коэффициент трения скольжения грузов о плоскость ) и цилиндрического сплошного однородного катка 5 (рис. Д6.1 – Д6.6). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы , зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно и .

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно . Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д6, где обозначено: - угловая скорость тела 1; - скорость груза 3; - скорость центра масс катка 5 т.д.

Таблица Д6.

Номер варианта	, кг	, кг	, кг	, кг	, кг	,	,	, Н	, м	Найти	Номер рисунка
1	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.1
2	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.1
3	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.1
4	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.1
5	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.1
6	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.2
7	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.2
8	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.2
9	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.2
10	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.2
11	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.3
12	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.3

Продолжение таблицы Д6

Номер варианта	, кг	, кг	, кг	, кг	, кг	,	,	, Н	, м	Найти	Номер рисунка
13	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.3
14	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.3
15	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.3
16	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.4
17	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.4
18	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.4
19	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.4
20	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.4
21	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.5
22	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.5
23	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.5
24	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.5
25	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.5
26	6	0	2	0	4	0	0.8		1.0		Д6.6
27	0	4	6	0	2	0.6	0		1.2		Д6.6
28	2	0	0	4	8	0	0.4		0.8		Д6.6
29	0	8	0	2	6	0.3	0		0.6		Д6.6
30	4	0	8	0	2	0	0.6		1.4		Д6.6

Рис. Д6.1	Рис. Д6.2
Рис. Д6.3	Рис. Д6.4
Рис. Д6.5	Рис. Д6.6

Указания. Задача Д6 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении кинетической энергии катка, который совершает плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью его центра масс воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение .

Когда по данным таблицы или соответствующее тело на чертеже не изображать; шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Пример Д6. Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней , , , (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу), грузов 3 и 4 и цилиндрического сплошного однородного катка 5. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы (рис. Д6.7).

Под действием силы , зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно и .

Определить величину в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно .

Исходные данные: кг; =4 кг; =6 кг; =0 кг; =2 кг;

=0.3 м; =0.2 м; =0.1 м; не задано (кинетическая энергия не зависит от этого радиуса);

=0.6 ; =0. ; Н; =1.2 м.

=0.1 - коэфф. трения скольжения груза о плоскость.

Рис. Д6.7

Решение: Груз 4 на рисунке 1 не изображен ( =0 кг).

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3 и 5, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные силы , , , , момент сопротивления , нормальные реакции , , и силы трения , (рис. Д6.8).

Для определения искомой величины воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы.

(1)

2. Определим и . Так как в начальный момент времени система находилась в покое, то . Величина равна сумме энергий всех тел системы.

Рис. Д6.8

- кинетическая энергия шкива 2, который совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси.

- кинетическая энергия груза 3, который совершает поступательное движение.

- кинетическая энергия катка 5, который совершает плоское движение.

Запишем кинематические соотношения:

Пусть - скорость точки приложения силы . - угловая скорость шкива 1.

; ; .

; ,

следовательно ;

;

; ;

;

. (2)

3. Теперь определим сумму работ всех внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка приложения силы пройдет путь .

Выразим все перемещения через заданную величину :

- угол поворота шкива 1; - перемещение центров тяжести груза 3 и цилиндра 5. В результате получим:

;

;

;

;

.

Работа остальных сил равна нулю:

, потому что ось шкива 2 неподвижна;

потому что сила перпендикулярна перемещению;

, потому что точка приложения сил неподвижна (мгновенный центр скоростей);

(3)

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1) получаем

Подставив числовые значения определяем скорость . =6.027 м/с.

Искомая величина равна . 20.09 1/с

Ответ: 20.09 1/с