Задача д7. Определение реакций опор при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Вертикальный вал (рис. Д7.1 – Д7.6), вращающийся с постоянной угловой скоростью =10 1/c, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в таблице Д7 в столбце 2. К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длиной с точечной массой =4 кг на конце и однородный стержень 2 длиной и имеющий массу =6 кг. Оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы и - в столбцах 5 и 6. =0.4 м.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника.

Таблица Д7.

Номер варианта	Подшипник В точке	Крепление				Номер рисунка
		стержня 1 в точке	стержня 2 в точке
1	B	D	K	30	45	Д7.1
2	D	B	E	45	60	Д7.1
3	E	D	B	60	75	Д7.1
4	K	D	E	75	30	Д7.1
5	B	E	D	90	60	Д7.1
6	B	D	K	30	45	Д7.2
7	D	B	E	45	60	Д7.2
8	E	D	B	60	75	Д7.2
9	K	D	E	75	30	Д7.2
10	B	E	D	90	60	Д7.2
11	B	D	K	30	45	Д7.3
12	D	B	E	45	60	Д7.3
13	E	D	B	60	75	Д7.3
14	K	D	E	75	30	Д7.3
15	B	E	D	90	60	Д7.3
16	B	D	K	30	45	Д7.4
17	D	K	B	30	45	Д7.4
18	E	D	B	60	75	Д7.4
19	K	D	E	75	30	Д7.4
20	B	E	D	90	60	Д7.4
21	B	D	K	30	45	Д7.5
22	B	D	K	30	45	Д7.5
23	D	B	E	45	60	Д7.5
24	K	D	E	75	30	Д7.5
25	B	E	D	90	60	Д7.5
26	B	D	K	30	45	Д7.6
27	B	D	K	30	45	Д7.6
28	D	B	E	45	60	Д7.6
29	K	D	E	75	30	Д7.6
30	B	E	D	90	60	Д7.6

Рис. Д7.1	Рис. Д7.2	Рис. Д7.3
Рис. Д7.4	Рис. Д7.5	Рис. Д7.6

Указания. Задача Д7 – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела имеют равнодействующую , то численно , где - ускорение центра масс С стержня, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С.

Пример Д7. Вертикальный вал АК, вращается с постоянной угловой скоростью , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке D (AB=BD=DE=EK=a). К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длиной с точечной массой на конце и однородный стержень стержень 2 длиной и имеющий массу . Оба стержня лежат в одной плоскости (рис. Д7.7).

Исходные данные: =10 1/c; =0.4 м; =0.4 м; =0.6 м;

; ; =4 кг; =6 кг

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника.

Решение:

1. Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала АК, стержня 2 и груза и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси координат так, чтобы стержни лежали в плоскости . Изобразим все действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , составляющие , реакции подпятника и реакцию .подшипника (рис. Д7.8).

Рис. Д7.7	Рис. Д7.8

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно ( =const), то его элементы имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения. , где - расстояние элемента от оси.

Силы инерции будут направлены от оси вращения. , где - масса -го элемента.

2. Определяем силу инерции груза. Сила инерции груза . Н .

3. Определяем силу инерции стержня 2. Эпюра параллельных сил инерции стержня образует треугольник и их можно заменить равнодействующей , линия действия которой проходит через центр тяжести треугольника, т.е. на расстоянии от вершины.

, , =0.3 м, =0.2 м

Главный вектор сил инерции , где - ускорение центра масс стержня 2. ; ; Н.

4. По принципу Даламбера все действующие силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Запишем для плоской системы сил три уравнения равновесия.

; ; (1)

; ; (2)

;

. (3)

Из уравнения (3)

,

; ;

Н; Н; Н.

Ответ: Н; Н; Н.