24. Элементы теории удара Основные положения и понятия теории удара
Ударом называется явление, при котором за малый промежуток времени, т. е. почти мгновенно, скорости части или всех точек системы изменяются на конечные величины по сравнению с их значениями непосредственно перед ударом или после него.
Длительность удара составляет обычно десятые и меньшие части долей секунды.
Ударным импульсом называют векторную величину:
.
Ударный импульс графически изображается на рисунке заштрихованной площадью, ограниченной кривой линией изменения ударной силы, и осью абсцисс, по которой откладывается время.
Иногда рассматривают среднюю ударную силу — постоянную в течение удара силу, которая за время удара дает такой же ударный импульс, как и переменная ударная сила. Средняя ударная сила определяется из соотношения:
Импульс
неударной силы, например силы тяжести
тела, за время удара имеет порядок
величины
,
т. е. является величиной малой по сравнению
с ударными импульсами. Поэтому импульсами
неударных сил можно пренебречь по
сравнению с ударными импульсами.
Перемещениями точек за время удара
также можно пренебречь.
Теорема об изменении количества движения системы при ударе
Изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме ударных импульсов, приложенных к точкам системы.
.
Теорема об изменении момента количества движения системы
при ударе
Изменение момента количества движения системы относительно некоторого центра за время удара равно векторной сумме моментов относительно этого центра ударных импульсов, приложенных к точкам системы.
.
Контрольная работа №2
Задача Д5. Интегрирование дифференциальных уравнений
движения точки (постоянные силы)
Варианты
1 – 5 (рис.
Д5.1). Тело движется из точки А
по участку АВ
(длиной
)
наклонной плоскости, составляющей угол
с горизонтом, в течении
сек. Его начальная скорость
.
Коэффициент трения скольжения тела по
наклонной плоскости равен
.
В точке В
тело покидает плоскость со скоростью
и падает со скоростью
в точку С
плоскости BD,
наклоненной под углом
к горизонту, находясь в воздухе
сек.
Тело принимаем за материальную точку. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Вариант 1. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 2. Дано:
Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и уравнение траектории точки на участке
ВС.
Вариант 3. Дано:
,
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 4. Дано:
,
,
,
,
=2 сек.,
.
Определить
и
Вариант 5. Дано:
,
,
,
,
=3 сек.,
.
Определить
и
.
Варианты 6 – 10 (рис. Д5.2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину , со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен . Лыжник от А до В движется сек. В точке В со скоростью он покидает трамплин. Через сек. лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.
Лыжника принимаем за материальную точку. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Вариант 6. Дано:
,
=0.2 сек.,
,
,
.
Определить и .
Вариант 7. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 8. Дано:
,
,
=0.3 сек.,
=20
,
.
Определить
и
.
Вариант 9. Дано:
,
=0.3 сек.,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 10. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и уравнение траектории лыжника на
участке ВС.
Варианты 11 – 15
(рис. Д5.3).
Имея в точке А
скорость
,
мотоциклист поднимается
сек. по участку АВ
длиной
,
составляющему с горизонтом угол
.
При постоянной
на всем участке АВ
движущей силе
мотоцикл в точке В
приобретает скорость
и перелетает через ров шириной
,
находясь в воздухе
сек. и приземляясь в точке С
со скоростью
.
Масса мотоцикла с мотоциклистом равна
.
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.
Вариант 11. Дано:
,
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 12. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 13. Дано:
,
,
кг,
=20 сек.,
,
,
Определить
и
.
Вариант 14. Дано:
,
,
кг,
кН,
,
.
Определить
и
.
Вариант 15. Дано:
,
,
кН,
,
,
.
Определить
и
.
Варианты 16 – 20 (рис. Д5.4). Камень скользит в течении сек. по участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину . Его начальная скорость равна . Коэффициент трения камня по откосу равен . Имея в точке В скорость , камень через сек. ударяется с точке С о вертикальную защитную стену со скоростью .
При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 17. Дано:
,
,
=1 сек.,
,
.
и
.
Вариант 18. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 19. Дано:
,
,
,
=1.5 сек.,
,
.
Определить
и
.
Вариант 20. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Варианты 21 – 25 (рис. Д5.5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной ) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен . Через сек. тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе сек.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 21. Дано:
,
,
,
=1.5 сек.,
.
Определить
и
.
Вариант 22. Дано:
,
,
=2 сек.,
.
Определить
и уравнение траектории на участке ВС.
Вариант 23. Дано:
,
,
,
=2 сек.,
.
Определить
и
.
Вариант 24. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 25. Дано:
,
,
,
,
.
Определить
и
.
Варианты 26 – 30 (рис. Д5.6). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной в течении сек. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен . Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и падает в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе сек.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 26. Дано:
,
,
,
,
.
Определить и .
Вариант 27. Дано:
,
,
=2 сек.,
.
Определить и .
Вариант 28. Дано:
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 29. Дано:
,
,
,
.
Определить
и
.
Вариант 30. Дано:
,
,
,
.
Определить
и
.
|
|
Рис. Д5.1 |
Рис. Д5.2 |
|
|
Рис. Д5.3 |
Рис. Д5.4 |
|
|
Рис. Д5.5 |
Рис. Д5.6 |
Указания. Задача Д5 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки под действием постоянных сил. Траектория точки разбивается на два участка. Для каждого участка изображаются все силы, действующие на точку, и составляются свои дифференциальные уравнения. В случае мотоцикла активная пара сил (со стороны двигателя) и сила трения в сумме дают движущую силу .
Пример Д5. Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину , со скоростью (рис. 5.7) . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен . Лыжник от А до В движется сек. В точке В со скоростью он покидает трамплин. Через сек. лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.
Лыжника принимаем за материальную точку. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
|
Исходные данные:
,
|
Определить и уравнение траектории точки на участке ВС.
|
|
Рис. Д5.7 |
,
,
,
.Решение:
|
1) Рассмотрим
движение тела на участке АВ.
Тело принимаем за материальную точку.
Покажем, действующие на материальную
точку силы: вес
|
Рис. Д5.8 |
,
реакция связи
,
которая состоит из нормальной
составляющей
и силы трения
,
которая принимает свое предельное
значение (
),
и направлена в сторону, противоположную
направлению скорости.
Составим
дифференциальные уравнения движения
точки в проекциях на оси координат
; (1)
. (2)
Так как
,
то
и
,
а
.
Таким образом уравнение движения точки принимает вид:
(3)
или 
, (4)
с начальными
условиями:
,
(5)
Интегрируя дифференциальное уравнение (4) дважды получаем:
,
.
Определяем постоянные интегрирования:
,
следовательно 
;
,
след. 
.
Таким образом
,
В момент времени
(6)
(7)
Два уравнения (6) и (7) содержат три неизвестных: , и .
|
2) Рассмотрим
движение тела на участке ВС.
Рассматривать движение будем в системе
координат
Составим
дифференциальные уравнения движения
точки в проекциях на оси координат
|
||
Рис. Д5.9 |
|||
|
или
|
|
|
.
Отсчет времени начинаем с нуля. На
этом участке на материальную точку.
действует одна сила веса
.
и
.
;
(8)
(9)
;
(10)
.
(11)
Начальные условия:
,
, (12)
:
,
. (13)
Интегрируя эти дифференциальные уравнения дважды получаем:
, 
,
, 
.
Определяем постоянные интегрирования:
,
следовательно 
,
,
следовательно 
,
,
следовательно 
,
,
следовательно 
.