1.2.3. Закон сохранения импульса

Докажем закон сохранения импульса. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N тел (на рис.1.11 для простоты приведена система из трех тел - м.т).

На каждое тело системы действуют внешние силы ( ) со стороны не входящих в эту систему тел (м.т.), и внутренние силы ( ) со стороны других тел системы. Внутренние силы системы связаны между собой третьим законом Ньютона

. (1.30)

Запишем уравнения второго закона Ньютона (1.27) для всех тел системы и затем сложим эти уравнения

, ;

.

Рис.1.11

Векторная сумма всех внутренних сил с учетом (1.30) равна нулю и поэтому

, (1.31)

где введен импульс системы как векторная сумма импульсов тел системы

. (1.32)

Итак, согласно (1.31) векторная сумма импульсов тел системы (или импульс системы) изменяется за счет действия внешних сил.

Если взять замкнутую систему, т.е. систему, на которую не действуют внешние силы ( ), то тогда выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной или импульс замкнутой системы остается постоянным.

const, const . (1.33)

Реально выделить замкнутую систему достаточно трудно. Но и в незамкнутых системах в ряде случаев можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим их. 1. Внешние силы компенсируют друг друга. Такую систему, например, составляют рассмотренные в §1.2.1 два тела, движущиеся по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу (рис.1.8). В этом случае внешние силы – силы тяжести , , нормальная реакция опоры компенсируют друг друга, а возникающие при столкновении тел внутренние силы, силы деформации, не могут изменить импульс системы . Из этого следует, что m₁/m₂ = , т.е. из закона сохранения импульса можно количественно оценить соотношение масс этих тел, их инертность. 2. Внешние силы не компенсируют друг друга, но их проекция на какую-либо ось остается равной нулю. Хотя импульс системы изменяется, но его проекция на эту ось сохраняется. Примером такой системы является система, состоящая из двух тел, одно из которых движется по гладкой поверхности со скоростью , а другое падает вертикально вниз со скоростью и испытывает абсолютно неупругое столкновение с первым телом. В результате этого они движутся с одинаковой скоростью , образуя единое целое (рис.1.12).

Рис.1.12

Сумма внешних сил до удара ( ), во время удара и после удара ( ) изменяется, но их проекция на ось Ох остается все время равной нулю и поэтому . Такие системы называются квазизамкнутыми. 3. Внешние силы значительно меньше по модулю внутренних сил, действующих между телами в системе ( ). Это наблюдается при сильных кратковременных взаимодействиях: удар, выстрел, разрыв снаряда и т.д. В этих случаях изменение импульса каждого тела системы, в основном, определяется внутренними силами системы

. (1.34)

1.2.4. Центр масс системы. Центр масс и центр тяжести а.т.т.

Под центром масс системы понимают точку пространства, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором

, , (1.35)

где m – сумма масс тел (материальных точек) системы; - радиус-вектор  – го тела (м.т.) системы.

Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массы m, то оно будет двигаться со скоростью , равной

. (1.36)

Если подставить в выражение (1.36) формулу (1.31)

, (1.37)

то тогда можно сказать, что центр масс системы - это точка пространства, к которой приложены все силы, вызывающие по отдельности поступательное движение системы. Поэтому поступательное движение системы можно моделировать движением тела в виде м.т. массы m , помещенного в центре масс системы. Этот прием является удобным при изучении такого движения системы.

Если система является замкнутой или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться. Поэтому в ИСО, связанной с ним, проще описать движение тел системы.

В качестве примера рассмотрим систему двух неподвижных тел массами m₁ и m₂ (m₂= 2m₁), скрепленных между собой сжатой в начальный момент времени пружиной. Эти тела могут скользить без трения по гладкой горизонтальной поверхности (рис.1.13)

Рис.1.13

Начало оси , точка О, совпадает с центром масс системы (точкой С), т.е. . Положение тел в начальный момент времени определится векторами и , связанными между собой соотношением

.

Если пружину отпустить, то за счет действия внутренних сил системы (силы упругости) тела приходят в движение, скорости и , радиус-векторы и будут все время изменяться, но положения центра масс остается при этом неизменным, а импульс системы будет равным нулю

.

Соотношения между радиус-векторами ( ) и векторами и сохраняются при движении тел.

Введенное выше понятие центра масс системы включает в себя как частный случай понятия центра масс и для абсолютно твердого тела. Действительно а.т.т. можно разбить на малые объемы dV и представить в виде совокупности м.т., между которыми действуют внутренние силы. Отличием для а.т.т. является тот факт, что расстояния между м.т. этого тела остаются со временем неизменными. Размеры объемов dV (м.т.) нужно выбирать такими, чтобы можно было пренебречь дискретным (атомным) строением вещества, т.е. эти объемы должны содержать достаточное количество одинаковых по свойствам атомов.

Центр масс а.т.т. совпадает с его центром тяжести, но является более общим понятием, справедливым и в отсутствие внешних гравитационных полей. Положение центра масс а.т.т. можно найти экспериментально, определяя положение его центра тяжести (см. параграф 1.3.3).

Лекция 3