Вопрос 13 Классификация регрессионных моделей.

Регрессионная модель – это функция, описывающая зависимость между количественными характеристиками сложных систем. Получение регрессионной модели происходит в два этапа:

1. подбор вида функции;

2. вычисление параметров функции.

Чаще всего выбор производится среди следующих функций:

y=ax+b – линейная функция;

y=ax²+bx+c – квадратичная функция;

y=aln(x)+b – логарифмическая функция;

y=ae^bx - экспоненциальная функция;

y=ax^b - степенная функция.

Если Вы выбрали (сознательно или наугад) одну из предлагаемых функций, то следующим шагом нужно подобрать параметры (a,b,c и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам. Для этого подходит метод наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем: искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений у – координат всех экспериментальных точек от у – координат графика функции была бы минимальной.

Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже другой вопрос – вопрос критерия соответствия. На рисунке 4 изображены 3 функции, построенные методом наименьших квадратов.

Данные рисунки получены с помощью Ms Excel. График регрессионной модели называется трендом (trend – направление, тенденция).

График линейной функции – это прямая. Полученная по методу МНК прямая отражает факт роста заболеваемости от концентрации угарного газа, но по этому графику трудно что – либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды – ведут себя очень правдоподобно.

На графиках присутствует ещё одна величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R². В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности. Именно она определяет, насколько удачной получится регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 1, то функция точно проходит через табличные значения, если 0, то выбранный вид регрессионной модели неудачен. Чем R² ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.

Метод наименьших квадратов используется для вычисления параметров регрессионной модели. Этот метод содержится в математическом арсенале электронных таблиц.

Получив регрессионную математическую модель мы можем прогнозировать процесс путем вычислений. Теперь можно оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений концентрации угарного газа, которые были получены путем измерений, но и для других значений. Это очень важно с практической точки зрения. Например, если в городе планируется построить завод, который будет выбрасывать в атмосфере угарный газ, то, рассчитав возможную концентрацию газа, можно предсказать, как это отразится на заболеваемости астмой жителей города.

Существуют два способа прогнозов по регрессионной модели. Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений независимой переменной (в нашем случае это значение концентрации угарного газа – С), то это называетсявосстановлением значения.

Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.