Определение центробежных моментов прокатных профилей

РАВНОПОЛОЧНЫЙ УГОЛОК.

Для равнополочного уголка в ГОСТе заданы осевой момент инерции для центральной оси параллельной полке уголка и два главных момента инерции. Поскольку сечение имеет ось симметрии, проходящую через центр тяжести сечения и ребро уголка, то положение главных осей определено без вычислений. Как видно из построения Круга, представленного выше, абсциссы концов диаметра дают значения осевых моментов для одной из пар осей. Следовательно, для начальных осей уголка концы диаметра будут иметь одинаковые абсциссы, то есть диаметр вертикальный.

OA - равен минимальному моменту инерции.

OC – равен максимальному моменту инерции.

OB – равен начальному осевому моменту инерции.

Отложив точки А, В и С, радиусом АВ из центра В строим Круг.

Координаты каждой точки на окружности равны осевому и центробежному моменту инерции уголка относительно определенной центральной оси сечения. Теперь ясно, что, если осевые моменты инерции равны, то центробежный момент инерции определяется ординатой самой верхней точки Круга, и эта ордината равна радиусу Круга или разности максимального и начального моментов инерции. Иначе можно определить центробежный момент как разность начального и минимального моментов инерции.

НЕРАВНОПОЛОЧНЫЙ УГОЛОК

Центробежный момент любого сечения модно получить из формулы

если решить это равенство относительно

Сделаем выборку параметров неравнобокого уголка из ГОСТа. Для определенности возьмем уголок 100х63х10 В = 100мм b = 63 мм d = 10 мм F = 15,5 см2 Ix = 154 см4 Iy = 47,1 см4 Ivmin = 28,3 см4 Угол наклона оси V: tg α = 0,387

Используя параметры, заданные в ГОСТе, можно определить недостающий максимальный момент инерции из известного положения о неизменности суммы осевых моментов инерции относительно пары взаимно-перпендикулярных осей при повороте этой пары осей вокруг общей точки. Как известно, при вращении пары осей вокруг общей точки осевые моменты и центробежный момент инерции непрерывно изменяют свои значения. Причем осевые моменты принимают значения в интервале от Imax до Imin .При любом положении осей осевые моменты принимают положительные значения, что и следует из определения момента инерции. В то время как, за полный оборот, центробежный момент инерции дважды принимает нулевое значение, а между ними плавно изменяется до максимального положительного и до такого же значения по абсолютной величине, но с отрицательным знаком. Нас в нашем расчете интересует: При каком положении осей центробежный момент принимает нулевое значение? Потому что при этом положении осей осевые моменты инерции принимают экстремальные, то есть наибольшее и наименьшее значения, отысканию которых и посвящена эта работа. Итог:

Imax+ Imin= , отсюда

Imax = =

=(154+47,1)-28,3=172,8см⁴.

Чтобы упростить расчеты центробежного момента, рассмотрим Круг Мора, построенный на параметрах неравнобокого уголка.

Длина отрезка ОА численно равна минимальному моменту инерции уголка Iv. Аналогично: ОЕ ~Iy ; ОВ~ Ix; ОС~ Imax BD=EF~ Ixy, т.е. пока неизвестный центробежный момент инерции

Рассматривая треугольники ABD и CFE, выражаем вертикальный катет в каждом треугольнике

BD=AB*tg α= (ОВ- ОА)* tg α

или * tg α.

Из треугольника CEF получаем

* tg α.

Решим задачу: как зная два осевых и центробежный моменты инерции определить наибольший центробежный момент сечения?

Как упоминалось выше, наибольший центробежный равен радиусу Круга Мора, который нетрудно вывести, имея перед глазами последний рисунок

Другой пример: как зная два осевых и минимальный моменты инерции определить наибольший центробежный момент сечения?

Радиус Круга Мора вычислим через другие параметры

I_xymax=

ПОЛЕЗНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

А какое сечение можно назвать поперечным? На этот вопрос студенты сразу отвечают:”Нормальное, т.е. перпендикулярное к оси бруса”. Но ось бруса проявится только тогда, когда во всех поперечных сечениях определим центры тяжести, и эти центры тяжести своим непрерывным множеством сольются в непрерывную линию, которую и называют осью.

Через любую точку внутри тела можно провести бесконечное множество сечений, вспомните как нарезаете колбасу для бутерброда, чтобы покрыть ломоть хлеба. Сечение , имеющее наименьшую площадь, и можно назвать поперечным.

По форме оси брус может называться прямым, плоско кривым или пространственно изогнутым.

Прямой, если ось прямая линия. Плоско кривой – линия касается всеми своими точками плоскости. Пространственно-изогнутая – ось прутка винтовой цилиндрической пружины.

2.2. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

ЗАДАЧА 2.2.1. Определение размеров сечения стержней статически определимой стержневой конструкции.

Для стержневой конструкции (рис. 2.2.1.1.) требуется:

1. Определить усилия в стержнях.

2. Из условия прочности определить величину площади сечения.

3. По величине площади сечения подобрать подходящий номер профиля по сортаменту.

4. Вычислить вертикальное перемещение точки С.

В расчетах принять для материала стержней σ_т=240МПа и Е=2*10⁵МПа, допускаемый коэффициент запаса прочности: при растяжении [n]_p=1,6, а при сжатии [n]_с=3,2.

q=16кН/м Р=50 кН М=60 кН*м a=1,5 м L1=2,0 м форма сечения: 1 – двутавр, 2- Труба, диаметр отверстия 80% от наружного

Рис. 2.2.1.1.

Чтобы подобрать размеры сечения стержней 1 и 2, необходимо знать усилия, которые в этих стержнях действуют.

Стержнем в инженерии называют брус, работающий на растяжение-сжатие.

Растяжение-сжатие – это деформация, при которой в поперечном сечении бруса действует только нормальная сила N,

а остальные пять внутренних силовых факторов отсутствуют или равны нулю, что, естественно, одно и то же.

Для определения усилий в стержнях выделим тело, находящееся в состоянии равновесия. На роль такого тела напрашивается жесткий недеформируемый брус АВС. Освободившись от связей, т.е. физических ограничителей перемещения тела АВС, заменяем их силами, называемыми реакциями связей. В точке А установлена опора, которая препятствует горизонтальному перемещению конца бруса, поэтому в горизонтальном направлении приложим неизвестную реакцию R_А , задача которой удерживать точку А от смещения по горизонтали. В точках В и С перемещение бруса ограничивают два стержня, шарнирно соединенные с брусом.

Сила, с которой стержень действует на брус, называется реакцией стержня.Она приложена в точке крепления и направлена вдоль оси стержня. Если стержнень имеет изогнутую ось, то вектор силы направляется по прямой линии, соединяющей концы стержня.

При рещении следует соблюдать определенную последовательность. Порядок решения должен быть следующим: а). из условия равновесия бруса находим реакции со стороны стержней; б). из равенства сил действия и противодействия на стержень со стороны бруса АВС, применяя метод сечений, определяем внутреннее усилие в поперечном сечении. Но поступим более рационально. Последуем рекомендации народной мудрости: “Хочешь получить простое решение сложной задачи, поручи ее решение ленивому сотруднику. Он найдет это решение”. Применим метод сечений сразу на первом шаге. Не отделяя стержень от бруса, мысленно рассечем его в произвольном месте и, оставив часть прикрепленную к брусу, отбросим вторую. Чтобы не нарушить равновесие, вместо отброшенной части приложим к сечению нормальную силу N, ради поиска которой и затеяли это решение. В действительности, это быстрее сделать, чем объяснить. Этот шаг представлен на рисунке 2.2.1.2.

Анализируем систему сил, действующих на брус. Они образуют плоскую произвольную систему сил, для которой можно составить три независимые друг от друга уравнения равновесия. Количество уравнений совпадает с количеством нензвестных сил, поэтому задача называется статически определимой. Неизвестные силы могут быть найдены непосредственно из решения системы уравнений равновесия.

Рис. 2.2.1.2. Расчетная схема статически определимой задачи.

В задаче три неизвестные силы, но для достижения конечной цели нужны только величины сил N₁ и N₂. Поэтому, выберем такие возможные уравнения равновесия, чтобы в них, во-первых, не входила сила R_А, и, во-вторых, в каждое уравнение должна входить одна неизвестная реакция N_i.

Рис. 2.2.1.3. Плечи сил относительно точки В.

Для уравновешенной системы составим уравнение моментов всех сил, действующих на брус, относительно точки В (рис. 2.2.1.3.):

ΣM_Bi=0; P.a-M-q.a.a/2-q.(a/2).(a+a/3)-N₂.2.a.cos30=0.

Линия действия силы N₁ проходит через точку В, поэтому плечо силы равняется нулю и момент силы N₁ не вошел в уравнение равновесия.

Второе – относительно точки С (рис. 2.2.1.4).:

ΣM_Ci=0; P.3.a-M+ N₁.2.a+q.a.3.a/2+(q. a)/2.(2.a/3)=0.

Рис. 2.2.1.4. Плечи сил относительно точки С.

Проверим вычисления. В качестве проверочного уравнения возьмем сумму проекций всех сил на ось Y.

ΣY_i=-P- N₁-

Проверка показала, что силы найдены верно, отличие от нуля – определяется ошибкой округления при вычислении.

Подбираем размеры сечения. Знак минус результатов говорит о том, что стержни оба сжимаются, и допускаемые напряжения принимаем для стержня, работающего на сжатие:

[σ]_c= σ_т/[n]_с=240/3,2=75 МПа

Площадь сечения подбираем из условия прочности

σ= N₁/F₁≤[σ]_c

Подчеркнутое выражение и есть условие прочности при осевом растяжении-сжатии. Решаем неравенство относительно F₁:

F₁≥ N₁/[σ]_c=77.10³/75.10⁶=0,00102м²=10,2 см².

Открываем стандарт сортамента прокатной стали в форме двутавра и по колонке площади сечения опускаемся до значения, удовлетворяющего условию прочности. Наша остановка на первой строке. Наименьший двутавр №10 имеет площадь сечения равную 12,0 см².

Для первого стержня принимаем двутавр №10.

Второй стержень, в соответствии с заданием, должен иметь трубчатое сечение.

Площадь сечения трубы определяется по формуле

F_тр = πD²/4- πd²/4=π/4[D²- d²]= πD²/4[1-( d/ D)²]=

= πD²/4(1-0,8²)= πD².0,36/4

Подставляем последнюю формулу в левую часть условия прочности и решаем относительно наружного диаметра D

D≥ = =0,0221м=2,21 см.

Ответ формулируется так: Диаметр не меньше 2,21см. Это позволяет считать пригодной любую доступную трубу диаметром больше 22,1 мм.

Принимаем наружный диаметр равным D= 2,4см. Площадь сечения равна

F_тр = πD².0,36/4=3,14.2,4².0,36/4=1,628 см².

В результате деформации стержней, жесткий брус переместится. Поскольку оба стержня сжимаются, то брус просядет и повернется в плоскости расчетной схемы. Вертикальное перемещение точки С видно на схеме.

При решении задач сопротивления материалов принимается следующее, весьма полезное, допущение. При вращательном перемещении тела, точки тела перемещаются по дугам окружностей.Поскольку удлинения или укорочения реальных элементов конструкций много меньше начальных размеров самих элементов, то учет этих перемещений значительно упрощается, если считать, что точки тела перемещаются не по дугам, а перпендикулярно начальной оси тела.Точка С попадает в положение С₁ под прямым углом к отрезку АС. Чтобы конец поддерживающего стержня 2 попал с точку С₁, он должен сдеформироваться на величину ΔL и под прямым углом переместиться в точку С₁ (Рис. 2.2.1.5 и рис. 2.2.1.6).

Определим вертикальное перемещение точки С. Из рисунка 2.2.1.6 видно, что искомое перемещение есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является укорочение стержня 2 ΔL.

Рис. 2.2.1.5. Замена перемещения по дуге - линейным.

Рис. 2.2.1.6.

Смещение СС1 определяется через катет прямоугольного треугольника, который равен деформации стержня 2. СС1=ΔL2/cos30° ΔL2=( )/(E.F) СС1==( )/(E.F cos30°)= =(10,39.103.2,31)/2.105.106.1,628.10-4.0,866=8,51.10-4м=0,851мм.

Решение задачи закончено. Размеры сечений стержней подобраны, вертикальное перемещение точки С определено.

ЗАДАЧА 2.2.2. Определение размеров сечений стержней статически неопределимой стержневой конструкции

Для статически неопределимой стержневой системы требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость, считая горизонтальную балку абсолютно жесткой;

2. Подобрать из условия прочности требуемые площади поперечных сечений стержней.

Материал стержней считать одинаковым, сталью с модулем продольной упругости Е=2.10⁵МПа. Для материала стержней принять допускаемые напряжения на растяжение [σ]_p=160МПа,

и на сжатие [σ]_с=80МПа.

q=10 кН/м q1=1,5q a=1,2м P=2qa M=qa2 L1=3м L2=2,4м F1/F2=1,5

Рис. 2.2.2.1 Исходная схема статически неопределимой задачи.

Усилия в стержнях находим из условия равновесия бруса АВС. Освобождаясь от связей, которыми являются для заданного бруса, шарнирно-неподвижная опора в точке В и два поддерживающих стержня 1 и 2 в точках А и С, заменяем их опорными реакциями. Получаем расчетную схему статически неопределимого бруса, поскольку имеем четыре неизвестные силы при трех независимых уравнениях равновесия для произвольной плоской системы сил.

Два из трёх уравнений равновесия “посвящены" проекциям реакции в опоре В. И обойти их отыскание никак невозможно. Если по условию задачи значения этих реакций не нужны, то можно постараться освободить себя от ненужной работы. Примирившись с мыслью, что два уравнения равновесия для нас бесполезны, будем думать, где взять недостающее уравнение для нахождения “лишней” неизвестной.

Называя связь лишней, мы должны понимать, что лишняя она только с точки зрения математики и механики. Поскольку конструкция может существовать и занимать определенное положение в пространстве и без неё, но с позиции прочности и надежности практически любая дополнительная опора служит укреплению конструкции.

Рис. 2.2.2.2 Расчетная схема статически неопределимой задачи.

При решении статически неопределимых задач дополнительное уравнение называется уравнением перемещений и составляется из условия совместности деформаций. Изюминкой каждой статически неопределимой задачи является видение этой совместной деформации. В типовой задаче, подобной рассматриваемой, восторг от того, что вдруг пришло озарение и я увидел “совместную деформацию” может пройти незамеченным, но бывают задачи, когда нужно серьезно поломать голову, чтобы увидеть то, что через минуту будет казаться очевидным. Но пока “скучный” момент не наступил этот поиск - занимательная головоломка.

Начнем знакомиться с методом на простой схеме. Анализируя конструкцию, видим, что “абсолютно жесткий” брус ABC, удерживаемый упругими деформируемыми стержнями 1 и 2, под действием приложенной нагрузки может повернуться вокруг цилиндрического шарнира B. Особо не напрягаясь:”В какую именно сторону брус будет поворачиваться?”, мы задаем перемещение как показано на рисунке 2.2.2.3.

В первую очередь составляем уравнение равновесия, не содержащее проекции реакции шарнира B. Этим уравнением будет сумма моментов всех внешних силовых факторов относительно точки B

=0

(2.2.2.1)

Рис. 2.2.2.3 Брус ABC совершил перемещение, допускаемое опорами.

Рис. 2.2.2.4 Узлы бруса ABC в местах соединения со стержнями.

Рассмотрим рис. 2.2.2.3. Отрезки АА₁ и СС₁ свяжем из подобия треугольников АВА₁ и ВСС₁.

Разобравшись с пояснениями на рис.2.2.2.4, запишем

, тогда .

Но, и с учетом конструктивного условия, что F₁=1,5F₂ , получаем

(2.2.2.2)

Упрощая, решаем равенство относительно

(2.2.2.3)

Подставляем (2.2.2.3) в (2.2.2.1). После некоторых простых преобразований получаем в левой части

Подставляем значения постоянных в правую часть уравнения (2.2.2.1) и получаем

Отсюда

Как известно из курса теоретической механики: “Если тело находится в равновесии под действием уравновешенной системы сил, то сумма моментов сил, составляющих эту систему относительно любой точки, выбранной на плоскости их действия равна нулю”. Нахождение точки в плоскости совершенно необязательное уточнение.

Но, чтобы это утверждение проверить, нужно знать значения всех сил, приложенных к брусу ABC. Рассчитаем пропущенные компоненты опорной реакции шарнира B. Проецируя все силы на продольную ось бруса ABC, находим значение проекции Х_В

Из суммы проекций всех сил на ось ординат выражаем вертикальную проекцию реакции шарнира B

Для проверки решения выберем точку D на единицу длины правее и на две единицы ниже точки C.

Рис. 2.2.2.5. Выбор произвольной точки для проверки решения.

Составим сумму моментов всех сил, действующих на брус ABC, относительно точки D. Если расчеты проведены верно, то после подстановки значений параметров и вычисления, эта сумма должна быть равна нулю.

Проверка проведена успешна, результат 0,002 является ошибкой округления.

Следующий пункт задания требует отыскания размеров поперечных сечений стержней. Запишем условие прочности при осевом растяжении

Решаем это неравенство относительно площади сечения

, а формулировать результат следует: “Площадь сечения не меньше такого-то значения”.

Подбор для первого стержня: .

Подбираем второе сечение: .

В задании определено конструктивное условие, определяющее соотношение площадей, которое должно выполняться неукоснительно, иначе рассыпается всё решение.

Из условия прочности получилось, что площадь сечения первого требуется меньшей чем площадь второго, поэтому принимаем волевое решение и записываем:

Принимаю F2=1,00.10-4м2. Тогда F1=1,5.F2=1,50.10-4м2.

Предотвращая критику продвинутых сопроматчиков, замечу, что это задание на осевое сжатие. Проверку на устойчивость студенты смогут сделать, разобравшись со всеми задачами данного сборника

2.3. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

ЗАДАЧА 2.3.1. Однопролетная шарнирно опертая деревянная балка

Задание на проектирование:

Составить аналитические выражения поперечной силы Q(x) и изгибающего момента M_z(x).

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Подобрать прямоугольное сечение из условия прочности по нормальным напряжениям. Принять соотношение сторон сечения h:b=2:1, при допускаемом напряжении [σ] = 10 МПа. Исходные параметры принять равными: a=1,5 м q=20 кН/м

b=2,0 м P=40 кН

c=2,5 м M=80 кН.м

d=1,8 м

Рис. 2.3.1.1. Исходная схема шарнирно опертой балки.

Рис. 2.3.1.2. Расчетная схема балки с опорными реакциями и плечами равнодействующей распределенной нагрузки.

Из уравнения моментов сил, действующих на балку, относительно точки B выражаем вертикальную составляющую реакции опоры A :

Составив выражение суммы моментов относительно точки A и выделив из него реакцию опоры B , получаем значение этой реакции:

.

Во избежание дополнительной работы, которая может неожиданно свалиться в самом конце решения, когда кажется, что всё хорошо, и видна финишная ленточка, стоит приучить себя в обязательном порядке делать проверку расчетов. Ошибка пусть самая маленькая и нелепая при определении реакций обязательно проявляется при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. В качестве проверочного уравнения можно взять неиспользованное уравнение суммы проекций на ось ординат или уравнение моментов всех сил относительно любой точки плоскости чертежа задачи.

ПРОВЕРКА

Рис. 2.3.1.3. Эпюры Q_y M_z Рис.2.3.1.4. Правило знаков для

построения эпюр при изгибе

Что такое изгибающий момент?

Твердое тело, с которым имеет дело инженер-конструктор, состоит из огромного множества частиц, связанных между собой молекулярными связями. Эти связи можно сравнить с множеством канатов, которыми корабль прикреплен к берегу. Для непосвященного это множество толстых веревок кажется хаосом. Но истинный моряк объяснит название и назначение каждой “веревки”, удерживающей корпус судна у пирса. Почти также молекулярными связями частицы тела связаны друг с другом и образуют твердые тела, которые способны сохранять свою форму достаточно долго и сопротивляться внешнему воздействию. Что произойдет с твердым телом в случае разрушения этих внутренних связей можно видеть на примере сухого песка. Те же твердые частицы, но без внутренних связей, и результат на лицо. Тому, кто не может представить это бесконечное количество ниточек внутри твердого тела, можно предложить разорвать застёжку Велкро , иначе называемую – липучкой.

В сопротивлении материалов для исследования внутренних связей между частями тела используется метод сечений. Тело мысленно рассекается в наперед определенном месте и нарушенные ”ниточки” заменяются векторами сил, которые естественным образом направляются вдоль нарушенной связи. Поверхность сечения можно грубо сравнить со спиной лесного ежа, покрытого казалось бы хаотично расположенными колючками. Грубо - потому, что в действительности на поверхности сечения этих ”колючек” много больше, и они мельче, и называются векторами распределенных сил. Чтобы понять характер действия этих векторов сил, применим известный из теоретической механики метод параллельного переноса сил в заранее выбранный центр. Этим центром в нашем случае служит центр тяжести сечения.

Центр тяжести сечения – точка пересечения осей, относительно которых статический момент сечения равен нулю.

Каждый маленький вектор силы, действующий в своей микро площадочке, приводится к центру тяжести сечения с присоединением приведенного момента этой силы. Всё множество векторов сил складывается по правилу сложения векторов с образованием одного результирующего вектора, который называется равнодействующим, а в СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ он называется главным вектором внутренних сил. Приложен он в наперед известной точке – центре тяжести, а направление может быть совершенно произвольным, как луч прожектора в ночное небо. Для лучшего представления этой силы вводим систему ортогональных, т.е. взаимно перпендикулярных координат с началом в центре тяжести сечения и с заранее определенным направлением осей. Две оси лежат в плоскости сечения и являются его главными осями.

Главные оси сечения – оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю.

Третья ось нормальная к сечению, т.е. перпендикулярная. Кроме этого она автоматически является продолжением оси прямого бруса либо касательной к оси бруса с кривой осью. Проецируем главный вектор внутренних сил на направление нормали. Эта проекция называется нормальной силой, действующей в сечении. Вторая проекция на плоскость сечения называется поперечной или перерезывающей силой. Перерезывающая сила в свою очередь раскладывается на проекции вдоль главных осей.

Моменты элементарных сил, появившиеся при их параллельном переносе к центру тяжести, также суммируются векторно. Известно, что момент силы определяется вектором, длина которого пропорциональна значению момента, а направляется он нормально к плоскости действия пары сил так, что, глядя с его конца, направление пары сил видится против хода часовой стрелки.

Суммарный вектор моментов называют главным моментом внутренних сил. Проекции главного момента на нормаль и главные оси сечения называют крутящим и двумя изгибающими моментами.

Три проекции главного вектора внутренних сил: нормальная сила и две поперечные силы, а также три проекции главного момента внутренних сил: крутящий и два изгибающих момента составляют полный набор внутренних силовых факторов, которые могут одновременно действовать в сечении бруса.

Эти внутренние факторы - невидимые силачи растягивают, крутят и изгибают твердое, но деформируемое тело, как ревматизм тело ветерана.

Задача инженера: по характеру внешнего воздействия составить полную картину внутренних сил в теле, понять насколько безопасным является текущее состояние и какие внутренние ресурсы имеются для дополнительного внешнего нагружения. Деятельность инженера в какой-то мере можно сопоставить с работой врача – специалиста по внутренним болезням, а точнее врача спортивной команды, который может подсказать тренеру о состоянии организма и ресурсе спортсмена. Но работа инженера более творческая – он задумывает и создает свой объект исследования, согласовывая внешнюю форму и структуру внутреннего устройства с прочностными свойствами того или иного конструкционного материала. Наличие вкуса способствует улучшению эстетического восприятия творения. Существует мнение, что правильно сконструированное изделие выглядит изящным и гармоничным. Самый лучший инженер, который сам проектирует, конструирует, изготовляет, тестирует во всевозможных условиях эксплуатации, отбирает оптимальные варианты и бескорыстно позволяет нам принимать свои труды в качестве прототипов, носит имя – ЖИВАЯ ПРИРОДА. Знания, которые формируют потенциал инженера, черпаются из арсенала окружающей нас ПРИРОДЫ. Когда внимательно знакомишься с устройством её творений, начинаешь сомневаться в отсутствие разумного начала. Представим себе, что на морском берегу мы собираем полный самосвал разноцветной гальки, включая и обтесанные частицы разбитых бутылок. Привозим и сгружаем на ровной площадке. И рассыпавшийся груз чудесным образом сложился в мозаичное полотно Михайло Ломоносова.

Видеть явление ПРИРОДЫ, найти и описать закономерности явления доступными средствами математики. Опробовать эти закономерности путем создания собственных творений, которые не уступают по совершенству природным. Создать методику доступную для понимания рядового студента. Это задача исследователя-природоведа с инженерным уклоном. Апробированные знания группируются в виде наук: физики, теоретической механики, теории упругости и многих других, приносятся на блюдечке с голубой каёмочкой в качестве питания мозга обучаемого молодого человека.

Благодаря долгой истории развития знаний о прочности материалов и конструкций и вниманию лучших умов человечества на всех этапах эволюции этих знаний к вопросам прочности доминирующих конструкций каждой эпохи, на сегодняшний день мы знаем о прочности почти всё. Это всё включает в себя то, что спрятано очень глубоко внутри массива тела конструкции и очень сложно для понимания непосвященного. Но самое главное содержание ВСЕГО – это методы и приемы решения сложнейших проблем достаточно простыми способами. Причем эти простые методы решения гарантированно обеспечивают прочность и надежность конструируемых изделий. Более углубленное изучение предмета, применение серьезного математического аппарата к исследованию приводит к уточненному знанию о предмете, изменению габаритно-весовых характеристик конструкций в сторону уменьшения, но не изменяет радикально предварительные результаты, рассчитанные методами, изучаемыми в курсе СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ.

Вопреки длинному повествованию о поперечной силе и изгибающем моменте нахождение значений этих факторов не представляет больших проблем.

Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на плоскость сечения.

График, показывающий значение поперечной силы в любом сечении бруса, называется эпюрой поперечной силы.

Изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости изгиба.

Принимаем систему координат с началом в точке А. Внешняя нагрузка такова, что придется выделять три участка, чтобы качественно построить обе эпюры.

Внутренние силовые факторы, которыми являются поперечная сила Q_y и изгибающий момент M_z , находят методом сечений.

Первое сечение выделяем на участке длиной a и записываем:

Мы предположили, что сила является функцией координаты сечения или, что её значение зависит от положения места мысленного разреза. Анализируя правую часть выражения, видим, что поперечная сила постоянная и равна значению реакции в точке А в любом месте в интервале от левого края участка, т.е. при абсциссе сечения равной нулю и до правого, когда приближается к значению равному , но его не достигает. Иначе говорят: “Бесконечно приближается слева”. Последнее замечание освобождает инженера от дилеммы – нужно или нет учитывать силу Р, которая приложена именно в точке с координатой равной Силу Р будем учитывать уже на следующем участке . В удобном масштабе строим эпюру. При выборе масштаба следует руководствоваться правилом:

1. График строим в двух масштабах, один по длине бруса, т.е. линейный, а второй по оси ординат - масштаб сил.

2. Эти масштабы выбираются независимо, руководствуясь удобочитаемостью эпюры.

3. Каждый масштаб неизменен в пределах всего бруса.

4. Эпюра изгибающих моментов строится в своем независимом масштабе.

Составляем функцию изгибающего момента:

Изгибающий момент является линейной функцией координаты сечения. Строим график по двум точкам, которые имеют абсциссы начала и конца интервала.

.0=0

Отмечаем точку на графике.

Строим вторую точку и соединяем две точки прямой линией. Рядом с точками указываем значения, по которым эти точки построены.

Закончив построения на первом участке, приступаем к следующему. В произвольном месте отрезка длиной (b+c) указываем место виртуального сечения и отмечаем его абсциссу.

(2.3.1.1)

Последнее слагаемое выражения поперечной силы является равнодействующей распределенной нагрузки, оказавшейся на выделенном участке. Определяем интервал возможных значений аргумента , при которых справедливо составленное выражение силы. Начало участка определяет значение аргумента, при котором суммируются все три составляющие в формуле (2.3.1.1) . Это значение равно , конец участка отмечен местом приложения опорной реакции , т.е. при

аргумент в функцию силы входит в первой степени, то зависимость (2.3.1.1) линейная. Для построения графика этой функции достаточно найти два значения поперечной силы при аргументе в начале и конце участка

Составляем функцию изгибающего момента на втором участке

(2.3.1.2)

Выражение графически на расчетной схеме представлено площадью эпюры распределенной нагрузки, попадающей на выделенный участок. Равнодействующая сила этой нагрузки прикладывается в центре тяжести площади эпюры, т.е. посредине участка . Плечо равнодействующей относительно оси z , которая по определению перпендикулярна к плоскости чертежа и проходит через центр тяжести текущего сечения, равно . После упрощения

(2.3.1.3)

Порядок функции определяется наивысшей степенью аргумента. В рассматриваемом примере функция квадратичная. Для построения эпюры нужны минимум три значения. Чтобы при минимуме работы получить максимально достоверный результат, обращаем внимание на интегрально-дифференциальную связь между поперечной силой и изгибающим моментом. Поперечная сила - производная от изгибающего момента. Анализировать производную удобнее всего прямо на эпюре. Сечение, отмеченное абсциссой , характеризуется нулевой поперечной силой. При этом значения силы разного знака по обе стороны от этого сечения. Следовательно, изгибающий момент при должен иметь экстремум, а точнее . Значение определяется из равенства нулю поперечной силы. Подставляем в (2.3.1.1) , откуда .

Вычисляем значение момента при этом аргументе

=

50,4.2,02-40,0.(2,02-1,5)-20.(2,02-1,5)²/2=78,3 кН.м.

Два других значения момента получим, подставив в функцию момента значения аргумента на концах интервала

=

, это значение уже было получено на правом конце первого участка.

=

=

.

Получили график в виде перевернутой параболы с вершиной в точке с симметричными ветвями относительно вертикальной оси, проходящей через точку экстремума.

Последний участок правее опоры В.

Поперечной силы на правом участке нет.

(2.3.1.4)

Первичный анализ функции показывает, что зависимость линейная. Но глядя на эпюру сил, можно сказать, что функция не только линейная, она ещё и постоянная. Подставляя значения параметров, входящих в выражение момента, получаем числовое значение равное моменту пары сил, приложенной на правом конце бруса .

Подбор прямоугольного сечения бруса.

Анализируя эпюру изгибающего момента, без труда выясняем, что наибольший по абсолютной величине момент действует во всех сечениях на участке длиной .

Записываем условие прочности при поперечном изгибе .

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по формуле . С учетом конструктивного соотношения сторон прямоугольника h:b=2:1 . Подставляем последнее в условие прочности и решаем относительно b

=0,229м

Принимаем b=0,23 м; h=0,46 м.

ЗАДАЧА 2.3.2. Консольный брус

Задание на проектирование:

Составить аналитические выражения поперечной силы Q(x) и изгибающего момента M_z(x).

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Исходные параметры принять равными: a=1,5 м

b=2,0 м P=40 кН

c=2,5 м M=80 кН.м

d=1,8 м q=20 кН/м

Рис. 2.3.2.1. Исходная схема консольного бруса

На брус наложена одна связь – жесткое защемление правого конца бруса. Защемление препятствует двум линейным и угловому перемещению, поэтому, освобождаясь от связи, прикладываем две проекции реакции и момент (рис. 2.3.2.2).

Рис. 2.3.2.2. Расчетная схема консольной балки.

При построении эпюр силовых факторов, действующих в сечении бруса, консольная балка или просто – консоль настоящий подарок для студента. Все неизвестные силы сосредоточены на одном конце. Следовательно, если принять начало координат в точке А, то неизвестные силы в концевой точке не помешают составить выражения поперечной силы и изгибающего момента для всех участков бруса, включая и последний, поскольку наш небольшой опыт подсказывает, что сила приложенная в крайней дальней точке участка в функцию внутреннего фактора не включается (рис. 2.3.2.3).

Рис. 2.3.2.3. Консольная балка с эпюрами внутренних факторов.

Строим график на первом участке.

Второй участок приносит первые неожиданности. На участке нагрузка распределена по убывающему закону. Задавая произвольное сечение, получаем часть распределенной нагрузки в виде трапеции. Нахождение площади трапеции больших проблем не составляет, т.е. функцию поперечной силы получим и эпюру построим, а вот с определением центра тяжести этой трапеции, чтобы представить, где прикладывается равнодействующая распределенной нагрузки, возникают сложности.

Но данные проблемы преодолимы, причем красиво. Как учат классики:“Нормальные герои всегда идут в обход”. Убывающую нагрузку преобразуем в возрастающую. Верхний треугольник дополняем до прямоугольника, а добавленный возрастающий треугольник компенсируем ровно таким же, но направленным в противоположную сторону. Его мы изобразим приложенным снизу. Теперь составляем функцию обычным образом, а компенсация будет осуществляться автоматически.

(2.3.2.1)

(2.3.2.2)

Функция поперечной силы оказалась квадратичной, а изгибающий момент описывается кубической параболой. Для построения графиков рассчитаем по три значения поперечной силы и изгибающего момента:

=0

=

.

• Строим параболу по трем точкам. Примечательных мест на эпюре не наблюдается, поэтому величины изгибающего момента определяем при тех же значениях аргумента, что были приняты для поперечной силы

.

.

.

Приступаем к третьему участку.

(2.3.2.3) . (2.3.2.4)

Функция поперечной силы линейная. Для построения эпюры найдем значения силы на концах интервала

.

.

Строим прямую и замечаем: при поперечная сила равна нулю и изгибающий момент при этом аргументе имеет экстремум, причем .

Два значения момента найдем на концах участка, а третье - при , которое найдем, приравняв нулю уравнение, полученное из выражения поперечной силы, подставив :

.

.

.

Закончив построение точек на третьем участке, соединяем их параболой с низшей точкой в точке и симметричными ветвями относительно вертикальной оси, проходящей через .

Рассматриваем последний участок

.

Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс.

.

Зависимость линейная, причем значение на левом конце участка совпадает со значением на правом конце предыдущего интервала.

.

Построение эпюр закончено. Ордината эпюры на правом конце равна величине вертикальной составляющей реакции в заделке, а ордината на эпюре изгибающего момента – величине опорного момента.

ЗАДАЧА 2.3.3. Статически определимый брус

Задание на проектирование:

Составить аналитические выражения поперечной силы Q(x) и изгибающего момента M_z(x).

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Подобрать размеры стальной балки двутаврового профиля при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа.

Исходные параметры принять равными: a=1,5 м

b=2,0 м P=40 кН

c=2,5 м M=80 кН.м

d=1,8 м q=20 кН/м

Рис. 2.3.3.1. Исходная схема

Решение как всегда начинается с освобождения от связей и замещением их реакциями.

Рис. 2.3.3.2. Исходная схема с опорными реакциями

Подсчет количества реакций связей дает число четыре. Для произвольной плоской системы сил можно составить только три независимые уравнения равновесия. Получается, что одна неизвестная “лишняя”, и задача должна быть статически неопределимой. Но в точке С части бруса соединены с помощью шарнира, а врезанный шарнир, соединяющий две части балки, снимает одну степень неопределимости. Брус оказывается статически определимым, но решается в определенном порядке.

Порядок следующий: рассоединяем балку в шарнире С.

С каждой стороны шарнира прикладываем по одной горизонтальной и вертикальной составляющей реакции, которые должны удерживать рассоединенные концы бруса от взаимного смещения по горизонтали и вертикали. Шарнир не оказывает сопротивления угловому смещению соединяемых частей, поэтому парой сил шарнирные реакции дополнять не требуется.

Рис. 2.3.3.3. Брус, рассоединенный по шарниру С.

При расстановке реакций обращаем внимание на то, что одноименные проекции направляются навстречу друг другу.

Рассмотрим участок СВ. Это балка с шарнирной опорой, активной нагрузкой и двумя силами, заменяющими действие отброшенной левой части бруса. К брусу СВ приложены три неизвестные опорные реакции, значит она статически определимая. Составляя уравнение моментов относительно точки С, находим реакцию опоры В -R_B

.

Далее можно составить ещё два уравнения и найти проекции реакции в точке С. Но это не обязательное действие. Достаточно соединить части в шарнире и вернуться к схеме (рис. 2.3.3.2), но с уже известной реакцией со стороны шарнирно подвижной опоры R_B =44,4 кН. Теперь брус имеет две проекции реакции и момент пары в заделке, которые можно определить, составив три уравнения равновесия бруса АВС. Но находить мы их не будем, так как поступим аналогично решению предыдущего примера. Будем решать задачу как консольную балку, а начало координат разместим в точке В .

Рис. 2.3.3.4. Брус с эпюрами поперечной силы Q(x) и изгибающего момента M_z(x).

Построим эпюры, не составляя выражения силы и момента.

На участке длиной d поперечная сила равна реакции R_B =44,4 кН. Сила направлена снизу вверх, строим со знаком минус. Изгибающий момент в точке В равен моменту пары со знаком минус. Далее он изменяется на величину площади эпюры поперечной силы на рассматриваемом участке. Для контроля решения имеем в виду, что в шарнире С должны получить ноль.

На втором участке поперечная сила изменяется по линейному закону,

т. к. участок загружен равномерно распределенной нагрузкой. Это изменение численно равно площади эпюры распределенной нагрузки

Ω=q.c=20.2,5=50 кН.

Поэтому на левом конце участка длиной с сила примет значение 5,6 кН. Зависимость линейная, строим прямую, пересекающую ось отсчета в точке, имеющей координату .

При такой эпюре силы эпюра изгибающих моментов будет ограничиваться параболой с вершиной при x=x^*. Значение вершины определяется площадью нижнего треугольника . Далее момент уменьшается на величину площади треугольника в левой части участка. Эта площадь определится как . Изгибающий момент на левом конце участка будет равен

.

На третьем участке поперечная сила постоянная и равная 5,6 кН. Затем на границе третьего и четвертого приложена сосредоточенная сила, и на этой границе появляется ступенька на величину силы Р=40,0 кН. Изгибающий момент на третьем участке изменится в сторону уменьшения на величину равную площади прямоугольника на этом же участке эпюры поперечных сил 5,6.2,0=11,2 кН.м достигнет значения

M_z(x=d+c+b)=48,5-11,2=37,3кН.м

На четвертом участке изгибающий момент изменяется в сторону увеличения на величину площади эпюры поперечной силы

M_z(x=d+c+b+a)= 37,3+34,4.1,5=88,9 кН.м

Эпюры построены. Анализируем внутренние усилия. Определяем опасное сечение и подбираем размеры сечения бруса из условия прочности по нормальным напряжениям.

Опасное сечение прилегает к заделке. Наибольший момент равен

M_z^наиб=88,9 кН.м

Поперечная сила в сечении Q(x)=34,4 кН.

Условие прочности при изгибе .

Решаем относительно момента сопротивления . (2.3.3.1)

Подставляем значение момента и допускаемого напряжения в (2.3.3.1)

.

По сортаменту ближайший подходящий двутавр имеет номер 33. Выписываем характеристики профиля необходимые для дальнейших расчетов: наибольший осевой момент инерции I_x=9840 см⁴,

Осевой момент сопротивления W_x=597 см³,

Статический момент половины сечения S_x=292 см³,

Толщина стенки двутавра d=7,0 мм.

Определяем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении бруса

и наибольшие касательные напряжения в центре тяжести того же сечения

Расчет закончен. Условие прочности выполняется.

2.4. НЕРАЗРЕЗНАЯ БАЛКА.

ЗАДАЧА 2.4. Раскрытие статической неопределимости неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов

Задание на проектирование:

Для статически неопределимой неразрезной балки требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость, используя уравнение трех моментов;

2. Определить реакции всех опор и сделать проверку, найденных величин;

3. Построить эпюры поперечных сил Q(x) и изгибающего момента M_z(x).

4. Подобрать двутавровое сечение балки при допускаемых напряжениях [σ] = 160 МПа.

5. Представить примерный вид изогнутой оси балки.

Исходные параметры принять равными:

P=40 кН a=2,0 м

M=60 кН.м b=4,0 м q=20 кН/м c=3,0 м

Рис. 2.4.1. Исходная схема неразрезной балки.

Балка имеет две промежуточные опоры, которые накладывают две дополнительные связи сверх необходимых, и задача по определению опорных реакций становится дважды статически неопределимой.

Рис. 2.4.2. Основная система неразрезной балки с врезанными шарнирами над промежуточными опорами.

Неразрезные многопролетные балки отличаются от остальных статически неопределимых задач тем, что для них однозначно и без вариантов выбирается основная система. Над промежуточными опорами в брус балки условно врезаются шарниры. Теперь три шарнирно опертые балки, представленные на рис. 2.4.2, составляют основную систему исходной конструкции.

Основная система – это кинематически неизменяемая, статически определимая конструкция, получаемая из исходной путем освобождения от дополнительных связей.

Но каждая однопролетная балка основной системы деформируется под действием своей пролетной нагрузки независимо от соседних участков, а нам необходимо заставить весь набор балок работать как единый организм, как это есть на самом деле, как это было до врезания шарниров. С каждой стороны врезанного шарнира приложим к балкам по паре сил с определенным моментом, величину которого следует подобрать такой, чтобы углы поворота сечений по разные стороны от шарнира были равны между собой. Причем равны в полном смысле, не только по величине, как показано на рисунках комментариев в некоторых учебных пособиях, но и по направлению. Если представить, что в края балок возле общего шарнира вбиты вертикально два больших гвоздя, то при появлении пролетной нагрузки балки будут прогибаться, и гвозди, оставаясь перпендикулярными к поверхности бруса, станут отклоняться от вертикали. Они могут отклоняться в разные стороны или в одну сторону, но на разные углы, поскольку два соседних пролета “не знают о существовании друг друга”. Прикладывая дополнительный момент, мы ограничиваем их свободу и заставляем в дальнейшем строго повторять угловые перемещения соседа. Но не просто один повторяет перемещения другого, а взаимно влияют друг на друга. Это условие называется совместностьюдеформаций. Основная система с дополнительными парами сил пока неизвестного направления и величины называется эквивалентной системой (рис. 2.4.3)

Рис. 2.4.3. Эквивалентная система неразрезной балки.

Уравнение перемещений метода сил, составленное для неразрезной балки, носит название “Уравнение трех моментов” по количеству искомых моментов, входящих в каждое уравнение углов поворота сечений. Если балка очень длинная, т.е. имеющая пять – десять или иное число промежуточных опор, то количество уравнений перемещения равняется числу этих опор. И каждое уравнение углов поворота содержит по три момента, средний момент для рассматриваемой опоры и по одному моменту над опорами слева и справа от неё:

, (2.4.1)

где , -длины пролетов слева и справа от рассматриваемой опоры;

- момент пары сил в сечении над опорой, для которой составляется данное уравнение;

- статический момент площади эпюры изгибающих моментов левого пролета относительно левой опоры.

- расстояние от центра тяжести площади эпюры до левой опоры;

- статический момент площади эпюры изгибающих моментов F _прав правого пролета относительно правой опоры;

b_прав - расстояние от центра тяжести площади эпюры до правой опоры.

Рис. 2.4.4. Эпюры поперечной силы и изгибающих моментов на отдельных участках основной системы.

На участке АВ эпюра ограничена ломаной прямой линией, поэтому разбиваем площадь на два треугольника по точке слома.

; ; ; . (2.4.2)

На участке ВС эпюра ограничена квадратичной параболой, асимптотически переходящей в прямую. По точке сопряжения делим эпюру на три части: правильную параболу, и два треугольника. Площадь параболы составляет 2/3 от площади прямоугольника, в который она вписана. В нашем случае вместо прямоугольника параллелограмм. Высота параллелограмма определится как разность ординаты дуги параболы при x=2a (5/6qa²) и средней линии правого треугольника ½(2/3 qa²) и будет равняться (qa²/2). Проекция основания параллелограмма на горизонтальную ось равна 2a, следовательно, площадь параллелограмма равна [(qa²/2). 2a], а площадь сектора, ограниченного параболой второго порядка, равняется F₂₃=2/3(qa²/2). 2a=2qa³/3.

Выполнив все предварительные вычисления, составляем Уравнение трех моментов для опоры B :

(2.4.3)

Теперь уравняем углы поворота слева и справа от опоры C, составив уравнение трех моментов:

(2.4.4)

Уравнения (2.4.3) и (2.4.4) составляют систему уравнений относительно двух неизвестных M_B и M_С , решив которую, определяем моменты и тем раскрываем статическую неопределимость задачи.

Подставляем значения параметров в уравнения (2.4.3) и (2.4.4) и упрощаем выражения:

(2.4.5)

(142,1-15,0-80,0)

47,1 (2.4.6)

Объединяем уравнения (2.4.5) и (2.4.6) в систему уравнений

(2.4.7)

Решаем систему уравнений по правилу Г. Крамера. Составляем матрицу системы из коэффициентов при неизвестных и находим её определитель

(2.4.8)

Заменяем столбцом свободных членов столбец коэффициентов при M_B и находим дополнительный определитель

.

Аналогично поступаем со вторым дополнительным определителем

.

Строим на одной оси все эпюры изгибающих моментов, показанные выше на рис. 2.4.4. На участке CD строим суммарную эпюру из двух. Окончательную результирующую эпюру будем строить методом наложения. Для этого на эпюре моментов основной системы достраиваем зеркальное отражение эпюры опорных моментов (обратная эпюра). Теперь в качестве оси отсчета принимаем контурную линию эпюры опорных моментов. Ординаты результирующей эпюры размещаются между двумя контурами эпюр: изгибающих моментов основной системы и эпюры опорных моментов. Можно на этом остановиться, но анализировать эпюру в искаженном виде непривычно, а может и неудобно. Поэтому распрямим её. Для этого рисуем прямую ось, и откладываем от неё отрезки снятые с эпюры рис. 2.4.5. над и под контуром эпюры опорных моментов. Получится эпюра как показано на рис. 2.4.6.

Для сравнения способов можно построить эпюру М_рез традиционным способом. Для этого на каждом участке, уже рассмотренном в начале работы, нужно добавить найденные моменты у промежуточных опор как обычную внешнюю нагрузку. Найти реакции опор, составить выражения поперечных сил и изгибающих моментов, построить эпюры и собрать участки в одну цепочку. Результат будет таким как на рис.2.4.6.

И последняя часть задачи: примерный вид деформированного бруса. Для этого мы твердо усвоили, что эпюра моментов строится со стороны сжатых волокон бруса. При этом она не может отрываться от опор или проваливаться вместе с ними. В сечениях, где момент равен нулю и при переходе через эту точку меняет знак, находится точка смены знака кривизны. И последнее замечание: чем больше величина момента, тем круче изгибается брус, тем меньше радиус кривизны. Рисуем ось, расставляем опоры, опускаем линии связи из точек с нулевым моментом и делаем попытку провести плавную кривую с учетом всех замечаний. Если есть проблемы с пространственным воображением, то можно взять гибкую стальную слесарную линейку и, приложив её к эпюре, пальцами создать упругую линию бруса.

Рис.2.4.5. Эпюры изгибающих моментов основной системы и эпюра опорных моментов неразрезной балки.

Рис. 2.4.6. Результирующая эпюра изгибающих моментов неразрезной балки и примерный вид оси бруса в деформированном состоянии.

Подбор сечения неразрезной балки.

Анализируем результирующую эпюру изгибающих моментов. Определяем, что опасное сечение бруса находится над крайней правой опорой. Абсолютная величина наибольшего момента равна М_наиб= 80 кН.м.

Записываем условие прочности при изгибе ,

где W- осевой момент сопротивления, который определяется отношением осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной точки сечения от нейтральной оси сечения, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости изгиба.

- допускаемое нормальное напряжение для материала бруса.

Выделяем осевой момент сопротивления из условия прочности

.

Момент сопротивления бруса должен быть не меньше пятисот сантиметров в кубе. Открываем ГОСТ на двутавры и, спускаясь по колонке W_x, доходим до ячейки со значением момента сопротивления равным 518 единиц. Смещаемся по строке влево до колонки с номером профиля и выясняем, что ближайший подходящий двутавр имеет номер 30а, т.е. его высота тридцать сантиметров, а ширина полки сто сорок пять миллиметров. Но, если есть желание, можно принять любой другой профиль большего сечения.

ПРИЛОЖЕНИЕ уравнения трех моментов к раскрытию неопределимости жестко защемленной балки с шарнирной опорой на противоположном конце.

Расчетная схема балки показана на рис. 2.4.7. Балка один раз статически неопределима. Врезаем в заделку шарнир, и балка превращается в однопролетную шарнирно опертую статически определимую, которая называется основной системой. Условно продолжаем балку за стенку и прикладываем по обе стороны шарнира по моменту.

Строим эпюру моментов от сосредоточенной силы, приложенной посредине пролета однопролетной шарнирно опертой балки. Составляем уравнение трех моментов

(1 прил.)

.

Рис. 2.4.7. Раскрытие неопределимости консоли с помощью уравнения трех моментов.

Дальнейшее решение выполняем методом наложения эпюр, который рассмотрели выше. Решение и результат представлен на рис. 2.4.7.

2.5. ПЛОСКАЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОРЕДЕЛИМАЯ РАМА

ЗАДАЧА 2.5. Раскрытие статической неопределимости рамы методом сил

Задание на проектирование:

Для статически неопределимой рамы требуется:

6. Раскрыть статическую неопределимость, используя метод сил;

7. Определить реакции всех опор и сделать проверку найденных величин;

8. Построить эпюры поперечных сил Q(x) и изгибающих моментов M_z(x);

9. Сделать проверку правильности построения эпюры M_z(x);

10. Подобрать диаметр стального стержня круглого сечения при допускаемых напряжениях [σ] = 160 МПа.

11. Представить примерный вид упругой линии рамы.

Исходные параметры принять равными:

P=40 кН a=2,0 м

M=60 кН.м c=3,0 м

q=20 кН/м

Рис. 2.5.1. Исходная схема статически неопределимой рамы

Анализируем исходную расчетную схему. Это однопролетная шарнирно опертая по концам балка, к которой жестко прикреплена П- образная конструкция, и все это называется рамой. Рама статически определима внешним образом, т.е. наложены только необходимые внешние связи, которые обеспечивают конструкции определенное положение в пространстве. Замкнутый контур накладывает три дополнительные связи, следовательно, рама трижды статически неопределимая. Но врезанный в верхнем левом углу шарнир снимает одну степень неопределимости. Итого рама оказывается дважды статически неопределимой.

Конструкция, элементы которой имеют форму бруса, называется стержневой. Стержневые конструкции или стержневые системы делятся на фермы и рамы.

Ферма – стержневая система, элементы которой работают на растяжение – сжатие. Для этого элементы соединяются между собой с помощью шарниров, а внешняя нагрузка прикладывается в узлах, то есть в шарнирах.

Если какое-либо из перечисленных условий не выполняется, то стержневая система называется рамой.

Врезанный шарнир снижает степень неопределимости конструкции на определенное число, которое нетрудно определить по формуле (количество стержней, соединяемых шарниром, минус единица).

Таким образом, исходная расчетная схема - статически неопределимая рама, имеющая степень неопределимости равную двум.

Порядок раскрытия неопределимости (решения задачи):