18. Экономическая формулировка математической модели прямой и двойственной задач

19. Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной.

Математические модели этих задач имеют следующий вид.

прямая задача:

двойственная задача:

Эти задачи экономически могут быть сформулированы следующим образом.

Прямая задача: сколько и какой продукции х_i(i-1, 2, … , n) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции С_i, объемом имеющихся ресурсов b_j (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов а_ij максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.

Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого ресурса y_j (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных b_j, c_i и а_ij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.

Оценки выступают как инструмент сбалансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей стоимости продукции и ресурсов обуславливают убыточность др. плана, отличающегося от оптимального. Двойственность оценки позволяет сопоставлять и сбалансировать затраты и результаты производства.

20. Правило построения математической модели двойственной задачи

Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:

1. Если прямая задача решается на максимум, то двойственная задача решается на минимум; если прямая задача решается на минимум то двойственная на максимум;

2. В задаче на максимум ограничения неравенства имеют вид – ≤, а в задаче на минимум – ;

3. Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, в другой модели ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;

4. Матрица системы ограничений двойственной задачей получается из матрицы из матрицы систем ограничений прямой задачи транспонированием;

5. Свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи и наоборот;

6. Если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, в противном случае – как ограничение равенство;

Если какое либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.

Пример:

Прямая задача:

Двойственная задача:

В этой задаче – предельные оценки стоимости единицы каждого ресурса, целевая функция – оценка стоимости всех ресурсов, а каждое ограничение есть условие, что оценка ресурсов, идущих на производство продукции , не менее чем цена единицы продукции.

Взаимосвязь решений прямой и двойственной задач находится из трех теорем двойственности.

21. Теоремы двойственности. Первая теорема двойственности.

Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X)=Z'(Y). Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Экономическое содержание первой теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения и оценок ресурсов, при этом полная стоимость продукта, полученного в результате реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения, значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными только тогда, когда полная стоимость произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадает.

Оценки выступают как инструмент сбалансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей стоимости продукции и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличающегося от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставлять и сбалансировать затраты и результаты производства.