2.3. Статистические характеристики экспериментальных данных

При измерении любой физической величины невозможно определить истинное значение этой величины. Разность между измеренным значением исследуемой величины и ее истинным значением называют погрешностью или ошибкой измерения.

Без оценки ошибок результат измерения становиться недостоверным, а в ряде случаев может оказаться, что он вообще не содержит информацию об измеряемой величине.

В общем случае различают три типа погрешностей грубые, систематические и статистические.

Грубые погрешности (промахи) связаны с неисправностью измерительной аппаратуры, либо с ошибками самого экспериментатора, либо с изменившимися условиями эксперимента. Грубые погрешности учету не подлежат, такие данные отбрасываются проводятся новые измерения.

Поэтому при оценке достоверности результатов измерений различают две принципиально разные группы погрешностей: систематические (калибровочные) и статистические (случайные).

Систематические погрешности – это такие погрешности, которые при многократном измерении одной и той же величины остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Обнаружить систематическую погрешность очень трудно. В свою очередь различают методические и инструментальные (приборные) погрешности измерений.

Методические → недостаток применяемого метода измерения; несовершенство теория физического явления, к которому относится измеряемая величина; неточность расчетной формулы. Эти погрешности можно уменьшить путем совершенствования метода измерения, а такие при введении уточнений и поправок в расчетную формулу.

Инструментальные погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. ..... разные плечи у рычажных весов, спешащие часы и т.д. Уменьшение этой погрешности достигается применением более точных и совершенных приборов, но полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Статистическая погрешность (случайная ошибка) – это такая погрешность, абсолютная величина и знак которой изменяется при многократных измерениях одной и той же физической величины. Статистическая погрешность характеризует воспроизводимость результатов наблюдений (измерений) после устранения систематических погрешностей. Эти погрешности нельзя исключить из каждого результата измерений и в дальнейшем будем рассматривать только статистические характеристики экспериментальных данных.

Статистические погрешности измерения радиоактивных образцов (препаратов) вызваны двумя причинами:

1. статистический характер радиоактивного распада;

2. случайные погрешности, которые вызваны неконтролируемыми изменениями факторов, влияющих на результаты измерений (пыль, смещение, колебание и пр.).

И каковы бы ни были случайные погрешности, искажающие результат отдельного измерения, в каждый результат вносится погрешность, связанная со статистическим характером радиоактивного распада. Ликвидировать колебания (флуктуации), связанные с колебаниями числа распадающихся атомов, просто невозможно.

Вспомним, что число импульсов Nр, регистрируемых детектором за время t, подчиняется закону распределения Пуассона. Это говорит о том, что если несколько раз подряд измерять активности долгоживущего изотопа то результаты получатся неодинаковыми, т.е. будут отклоняться в ту или другую сторону, группируясь вокруг некоторого значения. По полученным данным можно построить график, который называется кривой распределения Пуассона.

Рис.3. Кривая распределения Пуассона.

Как видно из графика, нельзя точно указать истинное значение числа зарегистрированных импульсов. Можно лишь указать, что среднее значение графика будет лучшей оценкой «истинного» значения активности.

За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой величины принимают среднее арифметическое из всех полученных n значений, т.е. пусть будем определять активность:

где, n – число независимых измерений.

Среднее арифметическое часто называют выборочным средним значением. Каждое измеренное значение N_i отклоняется от среднего значения . За абсолютную погрешность отдельного измерения принимают разность между значением среднего арифметического измеряемой величины и значением N_i, полученным при отдельном измерении в общем случае. За абсолютную погрешность отдельного измерения принимают разность между значением среднего арифметического измеряемой величины и значением N_i полученным при отдельном измерении:

∆а₁₌а₁-Ā, ∆а₂₌а₂-Ā и так далее. В общем случае ∆а_i=а_i-Ā.

Абсолютные погрешности могут быть положительные и отрицательные, но сумма их всех всегда равна нулю:

∆а_i = 0

Среднее значение Ā принято характеризовать двумя величинами: среднеарифметической погрешностью «∆А» или «∆» и среднеквадратичной погрешностью m.

Средней абсолютной погрешностью результата Ā (среднеарифметической) называется среднеарифметическое абсолютных значений ошибок всех измерений независимо от их знака:

Кратко можно записать так: А=Ā±∆.

Часто используют среднюю относительную ошибку (Е) или (ε) результата измерения. Это отношение средней абсолютной ошибки результата (∆) к его среднему значению Ā ( ): Е= 100%.

Случайные погрешности подчиняются законам теории вероятности. По этой теории среднее значение более точно характеризуется среднеквадратичной погрешностью:

m= , для n , а при n m=

Интервал, где наиболее вероятно обнаружить истинное значение

N_p от (Ā-m) до (Ā+ m),

тогда результат измерения будет: А= Ā± m.

Чтобы характеризовать отклонение значений введено понятие дисперсии.

Дисперсией σ² (сигма квадрат) называется среднее арифметическое квадратов абсолютных погрешностей отдельных измерений:

Значение называют стандартным отклонением или квадратичной ошибкой отдельного измерения. Распределение Гаусса описывает распределение величины около среднего значения Ā, каждое отличается от Ā на ± σ (рис.4.);

± 2σ; ± 3σ и так далее.

Рис. 4. Распределение Гаусса (распределение величины около среднего значения Ā)

Больше всего значений в интервале:

(-σ; σ) 68%; (-2σ; 2σ) 95,5%; (-3σ; 3σ) 99.73%.

На практике, если величина абсолютной ошибки данного измерения лежит в пределах 3σ, то значение необходимо принимать в расчете, другие выбраковываются: таким образом ∆а_i ≤ 3σ –берут; а если ∆а_i> 3σ – не берут.