3.6. Факторные значения

Факторные значения, являющиеся оценками показателей испытуемого по каждому из факторов (как если бы они замерялись непосредственно), можно отнести к наиболее полезным с практической точки зрения результатам методов главных компонент и факторного анализа.

Поскольку обычно факторов меньше, чем наблюдаемых переменных, и значения факторов почти не коррелируют (если факторы ортогональны), последние могут быть очень полезны в других аналитических процедурах. Например, коллинеарные корреляционные матрицы (т.е. вырожденные, чей ранг меньше количества строк или столбцов) при помощи метода главных компонент могут быть сведены к ортогональным компонентам. Или же можно применить факторный анализ и сократить количество зависимых переменных, а потом в качестве зависимых переменных для MANOVA использовать существенно меньшее количество факторов. Другой вариант — сократить большое количество независимых переменных до нескольких факторов и использовать их с целью прогнозирования зависимых переменных во множественной регрессии или принадлежности к группе в дискриминантном анализе. Небольшой набор устойчивых и хорошо интерпретируемых факторов расширяет возможности последующих аналитических процедур.

Процедуры оценки факторных значений расположены в диапазоне от «простейших» (но чаще всего адекватных) до «утонченных». Комри и Ли (Comrey, Lee, 1992) описывают несколько довольно простых процедур оценки значений факторов. Наиболее простая из них — суммирование для каждого фактора значений по переменным, имеющим высокие нагрузки по этому фактору. Если показатели по переменным сначала стандартизируются или переменные имеют приблизительно равные стандартные отклонения для начальных данных, то решение этой проблемы становится менее сложным. Для многих исследовательских целей вполне допустима такая быстрая и приблизительная оценка факторных значений. Однако переменные с большими стандартными отклонениями более значимо влияют на значения факторов, полученных при помощи этой процедуры.

Существует несколько статистических подходов к оценке факторных значений. Метод, описанный выше (в частности уравнения 16 и 17), представляет собой регрессионный подход к оценке факторных значений. Распределение значений по каждому фактору имеет нулевое среднее и единичное стандартное отклонение (после метода главных компонент) или же равное КМК между факторами и переменными (после факторного анализа). Однако этот регрессионный метод, равно как и другие, усиливает значение случайных взаимосвязей между переменными таким образом, что оценки факторных значений оказываются смещенными. Даже если факторы ортогональны, между их значениями часто наблюдается взаимосвязь. Регрессионный метод оценки факторных значений включен во все пакеты программ. Все они распечатывают компонентные/факторные значения и создают специальные файлы для дальнейшего анализа.

В SPSS реализовано еще два дополнительных метода для оценки факторных значений. Факторные значения, полученные методом Бартлетта, не смещены (т.е. систематически не бывают слишком близки или слишком далеки от «истинных» факторных значений). Они имеют те же средние и стандартные отклонения, как и при регрессионном методе, однако могут все же коррелировать между собой.

Подход Андерсона—Рубина (см.: Gorsuch, 1983) связан с вычислением факторных значений, не коррелирующих между собой даже при наличии корреляции самих факторов. Факторные значения имеют нулевое среднее и единичное стандартное отклонение. В случаях, когда нет специальных ограничений, лучше применять регрессионный подход, потому что он более доступен и удобен для понимания.

Следует отметить, что факторные значения, вычисляемые всеми описанными выше методами, нормально распределены с нулевым средним. Однако бывает необходимо рассмотреть выборку ответов респондентов или оценок объектов по первичным переменным как часть общей выборки, относительно которой строится гипотетическое предположение о нулевом среднем, и оценить именно смещение факторных значений по сравнению с нулем. В этом случае в уравнении (17), где значения факторов равны произведению стандартизированных значений по переменным и матрицы коэффициентов значений факторов, следует заменить матрицу Z, на матрицу нестандартизированных первичных данных D.

Другой вариант получения ненормализованных и нестандартизированных факторных значений — это умножение матрицы первичных данных D на матрицу факторных нагрузок А (Митина, 1994).