§2. Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве.

1. Общие сведения

Прежде чем приступить к непосредственному обсуждению задачи о приближении, напомним некоторые определения.

Множество называется линейным нормированным пространством, если оно линейно и каждому элементу поставлено в соответствие вещественное число , которое называется нормой и удовлетворяет условиям:

a. , причем , только когда .

b. для любого числа .

c. .

Линейное нормированное пространство называется строго нормированным, если из равенства следует, что .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется некоторое линейное нормированное пространство , элемент и набор линейно- независимых элементов .

Требуется найти наилучшее приближение для некоторой линейной комбинацией , то есть , найти элемент

такой, что

.

Если такой элемент существует, то он называется элементом наилучшего приближения. Справедливы следующие теоремы.

49

Теорема 1. В любом нормированном пространстве существует элемент наилучшего приближения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . ([2 ]) . Рассмотрим функцию

. (39)

Так как

,

то функция является непрерывной функцией переменных при любых . Функция

,

непрерывная на замкнутом множестве :

, (40)

достигает своей нижней грани в некоторой точке .

Учитывая линейную независимость , приходим к выводу, что . Для любого ненулевого набора чисел справедлива оценка:

, где

.

Пусть . Функция непрерывна на множестве :

(41)

следовательно, в некоторой точке

50

достигает своей нижней грани . Очевидно, что

.

За пределами множества

.

Таким образом,

для любого набора чисел . Теорема доказана.

В произвольном нормированном пространстве элементов наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Теорема 2. В строго нормированном пространстве существует единственный элемент наилучшего приближения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два элемента такие, что

. (42)

Так как

,

то

.

Учитывая, что пространство строго нормированно, получаем

.

Откуда, на основании (42), и . Получаем противоречие.

51

Задача нахождения элемента наилучшего приближения в произвольном нормированном пространстве является трудноразрешимой. В данном пособии мы ограничимся рассмотрением двух наиболее интересных пространств.