§2. Численное интегрирование.

Пусть требуется найти значение интеграла

. (16)

Из курса математического анализа известна формула Ньютона-Лейбница

, (17)

где - любая первообразная функции . К сожалению, довольно часто, воспользоваться формулой (17) не представляется возможным; например, в случае, когда первообразная функции не выражается через элементарные функции или задана таблично. В таком случае на помощь приходят формулы численного интегрирования или, как их называют квадратурные формулы. Простейшие формулы можно получить из наглядных соображений:

а). Если на рассматриваемом отрезке, то

.

Обычно в качестве точки выбирают середину интервала, тогда

. (18)

65

Формула (18) называется формулой центральных прямоугольников.

б). Если функция близка к линейной, то значение интеграла приблизительно равно площади трапеции

. (19)

Формула (19) называется формулой трапеций. Заметим, что если функция - линейная, то формулы (18) и (19) дают одинаковый результат. Более сложные квадратурные формулы с оценкой их погрешности можно получить при помощи аппарата интерполирования. Для этого выберем некоторые точки и построим по этим точкам интерполяционный многочлен . Будем считать, что

. (20)

Это и есть квадратурная формула.

Учитывая, что , получаем

, где

- погрешность квадратурной формулы.

Квадратурная формула точна для многочлена степени при любом расположении узлов . Однако, как и при численном дифференцировании в случае удачного расположения узлов можно надеяться на повышение точности. В частности, если узлы расположены симметрично относительно середины отрезка, то квадратурная формула точна для любой нечетной относительно середины отрезка функции. Перейдем к получению оценок погрешности квадратурных формул.

1. Формула прямоугольников.

В формуле прямоугольников (18) функция приближается интерполяционным полиномом Эрмита первой степени с кратным узлом.

66

. (21)

Обозначая , приходим к оценке погрешности

. (22)

2. Формула трапеций.

В формуле трапеций (19)

, (23)

откуда

. (24)

3. Формула Симпсона.

Чтобы получить формулу Симпсона, заменим функцию параболой, проходящей через точки , т.е. представим приближенно интерполяционным полиномом второй степени по узлам . Воспользуемся представлением полинома в форме Ньютона.

.

Проводя интегрирование, получаем формулу Симпсона

. (25)

Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (25), отметим, что, так как узлы симметричны, то она является точной для любой нечетной относительно центра отрезка функции.

67

Построим полином Эрмита третьей степени с кратным узлом в центре отрезка. Тогда

.

Учитывая вышесказанное,

,

поэтому

. (26)