2.C. Решение систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей.

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений

, (46)

- матрица , где число строк больше числа столбцов .

Такие системы, как правило, несовместны. Будем искать наилучшее приближение к вектору правых частей по системе векторов, которые являются столбцами матрицы .

. (47)

В результате коэффициенты в (47) находятся как решение системы уравнений (45), которая приобретает вид

. (48)

Найденное таким образом решение, называется псевдорешением системы уравнений (46).

55

3. Наилучшее равномерное приближение.

Если норма в линейном нормированном пространстве определена не через скалярное произведение, то задача нахождения элемента наилучшего приближения значительно усложняется и в общем случае становится практически неразрешимой. В нашем пособии мы рассмотрим лишь некоторый частный случай.

Пусть - пространство ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке , с нормой

. (49)

Будем искать наилучшее приближение по системе многочленов

.

Согласно теореме 1, существует такой многочлен , что

(50)

для любых многочленов степени .

Многочлен называется многочленом наилучшего равномерного приближения (МНРП).

Конструктивных методов нахождения такого многочлена нет. Однако установлены необходимые и достаточные условия того, что многочлен является МНРП для непрерывной функции.

Теорема Чебышева . Для того, чтобы многочлен был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существование на по крайней мере точек таких, что

, (51)

одновременно для всех .

Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, принято называть точками чебышевского альтернанса.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего пособия

56

Пространство не является строго нормированным, поэтому вопрос о единственности элемента наилучшего приближения остается открытым, однако справедлива следующая теорема.

Теорема единственности .Многочлен наилучшего равномерного приближения непрерывной функции единственный .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что существуют два многочлена степени наилучшего равномерного приближения:

.

Отсюда

.

Следовательно, многочлен также является многочленом наилучшего равномерного приближения. Пусть - соответствующие этому многочлену точки чебышевского альтернанса. Тогда

или

. (52)

Так как , то равенство (52) возможно лишь когда

,

т. е. два различных многочлена степени совпадают в точках. Получили противоречие.

57

Замечание.

В случае, когда функция не является непрерывной, теорема единственности, вообще говоря, неверна:

Например, для функции , многочленом наилучшего равномерного приближения среди многочленов степени не выше первой будет любой полином .

Рассмотрим задачу, нахождения МНРП степени для функции

на отрезке . Для этого нам понадобятся многочлены Чебышева.

Многочлены Чебышева , определяются соотношениями

.

Легко видеть, что старший член при есть . Можно доказать, что при . Вернемся к нашей задаче. Справедливо равенство

.

Тогда многочлен и есть МНРП для .

Действительно, так как

,

то точки

,

максимума модуля разности образуют чебышевский альтернанс на отрезке .

58

Упражнения для самостоятельного решения

1. Построить интерполяционный многочлен второй степени в форме Лагранжа для функции по ее значениям в точках . Вычислить его значение в точке , найти погрешность и сравнить ее с теоретической априорной оценкой.

2. Построить кубический сплайн для функции на отрезке с узлами Вычислить

3. Построить интерполяционный многочлен по значениям функции и ее производных

4. В пространстве алгебраических многочленов степени не выше первой построить наилучшее приближение к функции заданной таблично

5. С какой погрешностью можно найти , если известны точные значения ?

6. Для функции построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени не выше второй на отрезке .

7. Функцию на приблизить многочленом первой степени в смысле

а) наилучшего равномерного приближения;

б) наилучшего приближения в .

Оценить погрешность .

8. Для функции построить многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени на отрезке .

59