§5. Пiдпростори векторного простору.

Питання для самоперевірки:

1. Лiнiйна оболонка системи векторiв – це…

2. Розмiрнiсть лiнiйної оболонки дорiвнює…

3. Чи вiрно, що розмiрнiсть лiнiйної оболонки системи векторiв

а₁ = (1,1,1,1), а₂ = (2,1,1,1), а₃ = (-2,-3,1,-1), а₄ = (1,3,-1,1)

дорiвнює 3?

4. Пiдпростором векторного простору називається.

Приклади підпросторів.

5. Ознака пiдпростору.

6. Перевiрити, чи утворюють лiнiйнi пiдпростори в арифметичному векторному просторi V_n такi системи векторiв:

1. усi вектори, сума координат кожного з яких дорiвнює 1;

2. усi вектори, в кожного з яких координати з парними номерами рiвнi мiж собою;

3. усi вектори, в кожного з яких кожна координата, починаючи з другої, дорiвнює квадрату попередньої.

7. Чи є лiнiйна оболонка пiдпростором векторного простору?

8. Перерiзом пiдпросторiв називається…

9. Сумою пiдпросторiв називається…

10. Теорема про розмiрнiсть суми двох пiдпросторiв.

11. Сума … називається прямою, якщо…

12. В якому випадку сума пiдпросторiв є прямою?

13. Розмiрнiсть прямої суми дорiвнює…

Задачі:

1. Чи належить вектор з простору М₂ дійсних квадратних матриць другого порядку над полем R лінійній оболонці векторів

2. Знайти базис і розмірність підпростору породженого векторами a) a₁ = (3,2,-3), a₂ = (4,10,34/3), a₃ = (3,6,-7) b) a₁ = (1,0,0,-1), a₂ = (2,1,1,0), a₃ = (1,1,1,1), a₄ = (1,2,3,4),

a₅ = (0,1,2,3) c) a₁ = (1,1,1,1,0), a₂ = (1,1,-1,-1,-1), a₃ = (2,2,0,0,-1),

a₄ = (1,1,5,5,2), a₅ = (1,-1,-1,0,0)

3. Знайти розмірність s суми і розмірність d перетину векторних підпросторів U і V, заданих як лінійні оболонки векторів a₁,…,a_n i b₁,…,b_n відповідно

a) a₁ = (1,1,1,1), a₂ = (1,-1,1,-1), a₃ = (1,3,1,3), b₁ = (1,2,0,2),

b₂ = (1,2,1,2), b₃ = (3,1,3,1)

b) a₁ = (1,2,0,1), a₂ = (1,1,1,0), b₁ = (1,0,1,0), b₂ = (1,3,0,1)

c) a₁ = (1,2,3,4), a₂ = (-1,1,0,1), a₃ = (2,3,1,0), b₁ = (1,-3,2,1),

b₂ = (1,3,2,2)

d) a₁ = (1,3,-1), a₂ = (2,-4,3), a₃ = (3,2,2), b₁ = (1,4,-1), b₂ = (1,2,-1), b₃ = (2,5,-2)

4. Знайти базис суми і перетину векторних підпросторів U i V, заданих як лінійні оболонки векторів a₁,…,a_n i b₁,…,b_n відповідно

а) a₁ = (1,1,1,0), a₂ = (0,1,0,0), a₃ = (-1,2,0,1), b₁ = (0,1,0,0),

b₂ = (2,1,1,0), b₃ = (0,2,1,1)

b) a₁ = (1,2,0,1), a₂ = (1,1,1,0), a₃ = (0,1,1,1), b₁ = (1,0,1,0),

b₂ = (1,3,0,1), b₃ = (0,3,-1,1)

c) a₁ = (1,1,6), a₂ = (1,0,3), b₁ = (2,3,-5), b₂ = (4,6,-10)

5. Знайти розмірність і базис простору розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь

6. Знайти лінійну оболонку таких систем векторів

a) 1, x, x² b) 1 + x², x + x², 1 + x + x²

§6. Евклiдовi простори.

Питання для самоперевірки:

1. Скалярним добутком двох векторiв називається…

2. Вказати аксiоми скалярного добутку.

3. Назвати основнi властивостi скалярного добутку.

4. Евклiдовий простiр – це…

5. Що означає запис ?

6. Написати нерiвнiсть Кошi-Буняковського i нерiвнiсть трикутника.

7. cos  =…, де  - кут мiж векторами а i b.

8. Умова ортогональностi векторiв.

9. Теорема Пiфагора.

10. Система векторiв а₁,а₂,…, а_n називається ортогональною, якщо…

11. Базис називається ортонормованим, якщо…

12. Який вектор називається ортогональним підпростору?

13. Умови ортогональностi двох пiдпросторiв.

14. U┴ –це…

15. Чи є система векторiв b₁ = (1,2,3,4), b₂ = (-1,3,-3,1), b₃ = (9,-3,-5,3) ортогональною? Вiдповiдь пояснити.

Задачі:

1. Нехай f₁(x) = 1, f₂(x) = x-1/2, f₃(x) = x² – x + 1/6. Чи є вектори f₃ - f₂, f₁ + f₂ взаємно ортогональні, якщо (f(x), g(x)) = ∫f(x)g(x) dx, де

x є [0,1].

2. Чи можна в лінійному просторі матриць М₂ ввести скалярний добуток матриць

за формулою (А,В) = а₁а₂ + d₁d₂

3. Обчислити скалярний добуток за правилом

(f(x), g(x)) = ∫f(x)g(x)dx

a) f₁(x) = x² - x + 1, f₂(x) = x - 2, де х є (0,2)

b) f₁(x) = x² + 2x + 1, f₂(x) = x - 1, де х є (0,1)

c) f₁(x) = 2x² - 3x + 2, f₂(x) = x + 3, де х є (0,1)

4. В просторі Rⁿ дано одиничний куб. Знайти довжину діагоналі куба і кут між діагоналлю і ребром, які виходять з однієї вершини.

5. Ортогоналізувати систему векторів:

a) a₁ = (1,1,1), a₂ = (3,3,-1), a₃ = (-2,0,6)

b) a₁ = (2,5,7), a₂ = (1,1,-1), a₃ = (1,2,2)

c) a₁ = (2,-1,2), a₂ = (1,2,-3), a₃ = (3,-4,7)

6. Знайти довжини сторін і внутрішні кути трикутника, вершини якого А, В, С задані векторами відповідно

а = (3,-1,3,-1), b = (4,0,2,0), c = (3,1,3,1)

7. Довести нерівність , де довільні вектори евклідового простору.

8. Побудувати ортогональний базис простору, натягнутого на систему векторів:

а) a₁ = (1,1,1,1), a₂ = (1,-1,1,4), a₃ = (1,3,1,3), a₄ = (1,2,0,1)

b) a₁ = (0,-1,2), a₂ = (-1,3,4), a₃ = (2,1,3)

c) a₁ = (1,0,1), a₂ = (2,1,2), a₃ = (0,1,1)

9. Знайти ортонормовану фундаментальну систему векторів системи рівнянь:

10. Знайти скалярний добуток векторів x = 2e₁ - e₂ i y = e₁ + 3e₂, знаючи, що і кут між векторами е₁ і е₂ дорівнює /4.