§7. Лiнiйнi оператори.

Питання для самоперевірки:

У векторному просторi V задано оператор, якщo…
Ознака лiнiйного оператора.
(k₁x₁+ k₂x₂+ … + k_nx_n)A =…
Приклади лiнiйних операторiв.
Вказати способи задання лiнiйних операторiв. Що є елементами матрицi лiнiйного оператора?
Формула зв’язку матриць лiнiйного оператора в рiзних базисах?
Множина V_n^* всiх лiнiйних операторiв простору V_n утворює:

а) ... вiдносно операцiї додавання лiнiйних операторiв;

b) ... вiдносно операцiї множення лiнiйних операторiв;

Довести це.

Чи є алгебра V_n^* лiнiйних операторiв n-мiрного векторного простору V_n над полем Р iзоморфною алгебрi M_n матриць n-го порядку над полем Р?
Область значень – це … Ранг лiнiйного оператора – це …
Ker A =…
Dim V =…
Пiдпростiр U називається iнварiантним вiдносно оператора А, якщо…
Власний вектор, що належить власному значенню – це… .
Власне значення – це… .
А-Е= 0 – це… Розписати його у загальнiй формi. Коренi цього рівняння є…
Спектр лiнiйного оператора – це…
Умови того, щоб власне значення було характеристичним коренем.
Для того, щоб матриця лiнiйного оператора зводилась до дiагонального виду, необхiдно i достатньо…

Задачі:

1. З’ясувати чи є лінійним відображення А простору R³ , якщо для будь-якого вектора х = (х₁,х₂,...,х_n) є R³ задано хА і знайти матрицю лінійного оператора в базисі е₁,…, е_n:

хА = (x₁- x₂+ x₃, x₃, x₂)
хА = (x₁+ 3x₂, x₂)
хА = (x₂+ x₃, 2x₁+ x₃, 3x₁- x₂+ x₃)
хА = (x₁- x₂+ x₃, -x₃, -x₂)
хА = (x₁+ 2x₂+ x_3*x₃, x₂, -x₃)
хА = (x₁, x_1*x₃, x₃)

2. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора заданого матрицею:

3. Побудувати ядро і область значень лінійного оператора, який задано матрицею:

4. Нехай а₁= (2,0,3), а₂= (4,1,5), а₃= (3,1,2), b₁= (1,2,-1), b₂= (4,5,-2), b₃= (1,-1,1) – вектори лінійного простору L, задані своїми координатами в базисі е₁, е₂, е₃. Визначити чи існує лінійний оператор , який переводить вектори а₁, а₂, а₃ відповідно у вектори b₁, b₂, b₃ і якщо так, то знайти його матрицю в базисі е₁, е₂, е₃.