Вiдповiдi.

§1. Системи лiнiйних рiвнянь.

1. a) (11/8, 1/4, 7/8),

b),

c) (2, 1, 1, -1),

d) (10, -4, 3, 1).

2. a) (0, 2, 1/3, -3/2),

b) (13/8, 59/5, 12),

c),

d) (1/10(6-15x₂-x₄), x₂, 1/5(1+4x₄), x₄).

3. a) (x₁, x₂, 2-27/13x₁+9/13x₂, -1+3/13x₁-1/13x₂), (13, 13, -16, 1),

b) (1/2, -2/3, 2, -3), c), d) (14 x₃, -9-2x₃, x₃), (15, -11, 1).

4. a) так,

b) нi,

c) так,

d) нi.

5. a) сумiсно невизначена, (7/6x₅-x₃, 5/6x₅-x₃, x₃, x₅/3, x₅),

b) сумiсно визначена, (0, 2, 5/3, -4/3),

c) сумiсно невизначена, (x₁, -2-x₁, -x₁, 1),

d) сумiсно невизначена, (-4+x₃, 3-x₃, x₃).

7. a) (1, -2, 0, 1, 0), (5, -6, 0, 0, 1),

b).

8. a) (1, 1, 1, 1) + L{(1, 1, 0, 0),(-1, 0, 0, 1)},

b) (0, 1, 1, 0) + L{(0, -2, 0, 1)},

c) (1, -1, 2) + L{(5, 1, 2)},

d).

9. a)   1,   -2, (1/(+2), 1/(+2), 1/(+2));  =-2 – система несумiсна;  = 1, (1, a, b),

b)  = 1, (1, -1, 2);   1,

(-23/(3-8), (4+10)/(3-8), (-84+11)/4(3-8))

c)   1,   -3, (1/(+3), 1/(+3), 1/(+3), 1/(+3));  = 1,

(1-x₂-x₃-x₄, x₂, x₃, x₄).

10. a) x² - 5x + 3,

b) x² -3x + 5,

c) 2x² - 3x + 1,

d) 3x² + 4x + 5.

§2. Вектори. Векторнi простори.

1. a), b), c), d) лiнiйно незалежна,

e) лiнiйно залежна.

2. a) (1, 1, 1),

b) (4, -2, 1),

c) (5/4, 1/4, 1/4, -1/4),

d) (1, -3, -1),

e) лiнiйно залежна.

3. a) (19/13, 16/13), 19/13 + i16/13,

b) (-9/7, -5/7, -6/7, 3).

5. a)  = -4, r = 2;   -4, r = 3;

b)  = 5,  = -1,  = 29/4, r = 2; в iншому випадку r = 3;

c)  = 3, r = 2;   3, r = 3;

d)   1/4,   1, r = 4;  = 1/4,  = 1, r = 3;

e)  = 0, r = 2;   0, r = 3.

8. a) k = 3, m = 2,

b) k = -11, m = -23.

9. 2 - 7i = 2(2 - 3i) - (4 + 2i)/2.

§3. Матрицi.

1. a) (3 2 1),

b) ,

c) .

2. a) , b) ,

c) , d) .

3. a) , b) ,

c) , d) .

5. , ; ± E.

6. a) , b) , c) .

8. так.

9. так.

11. a) (-4, -11, -9),

b) (4/3, 1/3, 3),

c) (1, 1, 1, 1),

d) (-2, 5, -3, 1).

§4. Детермiнанти.

1. 0.

2. a) (2, -3, -2),

b) (0, 2, 5/3, -4/3),

c) (-1/10, 16/5, -54/15),

d) (1, 1, 1).

4. a) -3a + b - 2c - d,

d)12.

5. a) -20,

b) 360,

c) -70,

d) sin (A-B) + sin (C-A) + sin (B-C),

e) 0.

6. a)0,

b)1,

c)0.

7. a) -6, -4,

b),

c),

d) -2, -4.

8. a) , b) - ,

c) , d) ,

e) .

9. a)система суперечлива, b)система невизначена, c)система невизначена.

10. a), b), c), d) r = 3,

e) r = 2.

§5. Пiдпростори векторних просторiв.

1. так, a = 2a₁ – a₂.

2. a) a₁, a₂, d = 2,

b) a₁, a₂, a₄, d = 3,

c) a₁, a₂, a₅, d = 2.

3. a) s = 3,d = 2,

b) s = 3,d = 1,

c) s = 4,d = 1,

d) s = 3, d = 3.

4. a) базис суми a₁, a₂, а₃, b₂, базис перетину

с₁ = 0a₁ + 1a₂ + 0a₃ = 1b₁ + 0b₂ + 0b₃ = (0, 1, 0, 0),

c₂ = 1a₁ - 1a₂ + 1a₃ = 0b₁ + 0b₂ + 1b₃ = (0, 2, 1, 1),

b) базис суми (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), базис перетину

(2, 3, 1, 1).

5. a) d = 1, (-8, -4, 5, 1),

b) d = 2, (0, 1, 1, 0), (0, -1, 0, 1),

c) d = 2, (0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1),

d) d = 1, (-7, 3, 0, 1).

6. a), b) усi многочлени степеня не бiльше 2.