2.2 Точка в квадрантах і октантах простору

Площини проекцій П₁ і П₂ ділять простір на чотири двогранні кути, які називають квадрантами (рис. 2.2 а). Точка може розташовуватись в одному із чотирьох квадрантів. Тоді її проекції на комплексному кресленні займають різні положення (рис. 2.2 б).

а б

Рисунок 2.2 –Точка в квадрантах

Наприклад: т. А - І квадрант; т. В - ІІ квадрант; т. С - ІІІ квадрант; т. D - ІV квадрант.

Площини проекцій П₁, П₂ і П₃ ділять простір на вісім тригранних кутів, які називають октантами. Нумерація октантів показана на рисунку 2.3.

Т аблиця 2.1 – Система знаків

координат відносно октанта

Октант	Знаки координат
	Х	Y	Z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Рисунок 2.3 – Точка в октантах

Додатними напрямками осей вважають: для осі Х - ліворуч від початку координат; для осі Y - в бік глядача від площини П₂; для осі Z - вгору від площини П₁. Приймаючи для відліку координат точки систему знаків, яка вказана на рисунку 1.4, отримаємо наступну таблицю 2.1.

2.3 Комплексне креслення прямої особливого і загального положення

2.3.1 Способи задання прямої лінії. Пряма лінія - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай береться за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.

Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, уздовж якої відстань між двома точками є найкоротшою.

Пряма лінія - алгебраїчна лінія першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням 1 - ого степеня (лінійне рівняння). Загальне рівняння прямої (повне):

Ах+Ву+С=0

де А, В і С - будь-які постійні, причому А і В одночасно не дорівнюють нулю. Якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, рівняння називається неповним. Для визначення положення прямою в просторі існують наступні методи):

1. Двома точками (А і В). Розглянемо дві точки в просторі А і В . Через ці точки можна провести пряму лінію (рис. 2.4 а).

2. Двома площинами (α, β). Цей спосіб завдання визначається тим що дві непаралельні площини перетинаються в просторі по прямій лінії (цей спосіб детально розглядається в курсі елементарної геометрії) (рис. 2.4 б).

а

б

в

г

Рисунок 2.4 – Способи задання прямої

3. Двома проекціями. Нехай в площині П₁ і П₂ дано проекції прямих, заданих відрізками А₁В₁ і А₂Б₂. Проведемо через ці прямі площини α і β перпендикулярні площинам проекцій. В тому разі, якщо ця площина непаралельна, лінією їх перетину буде пряма, задана відрізком АВ, проекціями якої є відрізки А₁В₁ і А₂Б₂ (рис. 2.4 в). Плоскість α і β можуть злитися в одну площину γ, якщо, наприклад, проекції А₁В₁ і А₂Б₂ перпендикулярні осі x і перетинають її в одній точці. Пряма лінія в цьому випадку буде однозначно визначена своїми проекціями, якщо на кожній з них позначити дві які-небудь точки. Якщо ж позначень не робити, то за шукану пряму можна прийняти будь-яку пряму, що лежить в цій площині за умови, що вона непаралельна жодній з площин проекцій. Точка К, в даному випадку - точка перетину прямої з площиною П_2.

4. Точкою і кутами нахилу до площини. Знаючи координати точки належної прямої і кути нахилу її до площини проекцій можна знайти положення прямої в просторі (рис. 2.4 г).

Пряма в просторі безмежна. При ортогональному проектуванні на площину пряма, не перпендикулярна до площини проекцій, проектується в пряму.

Оскільки положення прямої у просторі повністю визначається двома точками, то для визначення проекцій прямої досить визначити проекції будь-яких двох точок, які належать цій прямій.

П

Рисунок 2.5 –Проекція

прямої на площини П₁ і П₂

ровівши через точки А і В (рис. 2.5) перпендикуляри до площин проекцій П₁ і П₂, знайдемо проекції точок А і В: А (A₁, А₂), B (B₁, B₂). Відрізок А₁В₁ - горизонтальна проекція відрізка АВ, а відрізок А₂В₂ - його фронтальна проекція. Третю площину проекцій розглядають тільки як додаткову площину, тому що положення точки у просторі однозначно визначається двома її проекціями. Таким чином, дві проекції прямої повністю визначають її положення у просторі.

Пряма по відношенню до площини проекцій може займати як загальне, так і часткове положення.

Пряма, не паралельна жодній площині проекцій, називається прямою загального положення. Проекції прямої загального положення на площині проекцій є відрізками, непаралельними жодній з координатних осей.

Відрізок АВ займає довільне (загальне) положення по відношенню до площин проекцій П₁, П₂, П₃ (тобто кути нахилу відрізка АВ до П₁, П₂, П₃ довільні, але відмінні від 0 і 90⁰) (рис. 2.6). Така пряма називається прямою загального положення.

а

б

П

Рисунок 2.6 –а) Модель прямої загального положення; б) Епюр прямої загального положення

ряма загального положення АВ (А₁В₁; А₂В₂), може бути висхідна, якщо віддаляючись від спостерігача, вона піднімається (рис 2.8 а). Пряма загального положення CD (C₁D₁; C₂D₂), може бути нисхідна, якщо віддаляючись від спостерігача вона втрачає висоту (рис 2.7 б).

y_B<y_A; Z_B<Z_A y_c<y_D; Z_C<Z_D

Рисунок 2.7 –Пряма загального положення (а – висхідна), (б – нисхідна)

Окрім розглянутого загального випадку розміщення прямої по відношенню до заданої системи площин проекцій, існують особливі випадки:

а) пряма паралельна до площини проекцій;

б) пряма перпендикулярна до площини проекцій.

Прямі, паралельні до площин проекцій, називаються лініями рівня.

Горизонтальна пряма (горизонталь) - це пряма, паралельна до горизонтальної площини проекцій. Вона позначається буквою h (h₁, h₂, h₃) (на рис. 2.8 відрізок АВ паралельний до П₁). Усі точки горизонталі віддалені на однакові відстані від П₁, тобто для усіх точок горизонталі координата Z - величина постійна (Z = const). А тому h₂ // Х₁₂ (h₂ Z₂₃, h₃ Z₂₃).

Кут нахилу горизонталі до П₁ -   0. Кут нахилу горизонталі до П₂ -  і кут нахилу до П₃ -  визначаються з горизонтальної проекції h - h₁(А₁ В₁). На площину проекцій П₁ відрізки прямої h проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

Фронтальна пряма (фронталь) - це пряма, паралельна до фронтальної площини проекцій. Вона позначається буквою f (f₁, f₂, f₃) (на рис. 2.9 відрізок СD паралельний до П₂). Усі точки фронталі віддалені на однакові відстані від П₂, тобто для усіх точок фронталі координата Y - величина постійна (Y = const). А тому f₁ // Х₁₂ (f₁ Y₁₃, f₃ Y₃₁).

Кут нахилу фронталі до П₂ -   0. Кут нахилу фронталі до П₁ -  і кут нахилу до П₃ -  визначаються з фронтальної проекції f - f₂ (С₂D₂).

На площину П₂ відрізки прямої f проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

Профільна пряма - це пряма, паралельна до профільної площини проекцій. Вона позначається буквою р (р₁, р₂, р₃) (на рис. 2.10 відрізок EFпаралельний до П₃).

Усі точки профільної прямої віддалені на однакові відстані від П₃, тобто для усіх точок профільної прямої координата Х - величина постійна (Х = const). А тому р₁ Х₁₂ , р₂ Х₁₂ (р₁// Y₁₃, р₂ // Z₂₃).

Рисунок 2.8 – Горизонтальна пряма (горизонталь)

Рисунок 2.9 – Фронтальна пряма (фронталь)

Рисунок 2.10 – Профільна пряма

Кут нахилу профільної прямої до П₃ -   0. Кут нахилу профільної прямої до П₁ -  і кут нахилу до П₂ -  визначаються з профільної проекції р - р₃ (Е₃F₃). На профільну площину проекцій П₃ відрізки прямої р проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини, які перпендикулярні осі Х₁₂.

Проектуючими називаються прямі, які перпендикулярні до однієї з площин проекцій і паралельні двом іншим площинам проекцій (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 – Проектуючі прямі

Пряма а  П₁ - горизонтально проектуюча пряма; пряма b  П₂ - фронтально проектуюча пряма; пряма c  П₃ - профільно проектуюча пряма.

На одній з площин проекцій проектуюча пряма зображується у вигляді точки, а на двох інших - у вигляді відрізків, які займають горизонтальне або вертикальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка прямої.