3.5.3 Взаємна перпендикулярність прямої і площини

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються. Ця ознака перпендикулярності прямої і площини відома з геометрії.

Якщо площина паралельна площині проекцій, то пряма, яка перпендикулярна до неї, буде проектуючою. Одна з її проекцій буде перпендикулярною до сліду проекції площини.

Приклад. Задано площину  // П₁ (рис. 3.16) і точку А(А_1,А₂).

Розв’язування. Необхідно через точку А провести пряму ί  . Оскільки  // П₁, а ί  , то ί  П₁. А  ί : ί ₁  А₁, ί₂  ₂.

Якщо площина займає проектуюче положення, то пряма лінія, яка перпендикулярна до площини, буде прямою рівня.

Приклад. Задано площину   П₂ (рис. 3.16) і точку А(А₁,А₂).

Розв’язування. Необхідно через точку А провести пряму   . Оскільки площина   П₂, а   , то пряма  // П₂  ₁ // X₁₂,_, ₂  ₂.

Рисунок 3.16 – Перпендикулярність прямої до площини

В исновок. Для того, щоб пряма у просторі була перпендикулярна до площини, необхідно і достатньо, щоб на комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини, а фронтальна проекція прямої перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (або необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярні до однойменних слідів площини) (рис. 3.17): n₁  h₁, n₂  f₂  n  (f,h).

Рисунок 3.17 – Перпендикулярність

прямої до площини

3.5.4 Теорема про проектування прямого кута

Д ля того, щоб ортогональна проекція прямого кута на яку-небудь площину проекцій була прямим кутом, необхідно і досить, щоб хоча б одна зі сторін цього кута була паралельною площині проекцій (рис. 3.18), в той час, як інша сторона не повинна бути перпендикулярною до цієї площини проекцій:

 ABC=90⁰: BC // П₀   A₀B₀C₀=90⁰.

Д

Рисунок 3.18 – Проектування прямого кута

оведемо це. Продовжимо АВ до перетину з площиною П₀ в точці К  К₀. Через точку К₀ в площині П₀ проведемо пряму ₀ // B₀C₀. Оскільки ₀ // B₀C_0, а B₀C₀ // BC, то ₀ // BC. Звідси кут BK₀L₀ = 90⁰.

З гідно з теоремою про три перпендикуляри (пряма, яка належить площині, тоді і тільки тоді перпендикулярна похилій до цієї площини, коли вона перпендикулярна до її проекції на розглядувану площину) кут B₀K₀L₀ теж прямий. Через те, що K₀L₀ // B₀C_0, а кут B₀K₀L₀=90⁰ і кут K₀B₀C₀ = 90⁰.

В

Рисунок 3.19 – Проектування прямого кута

исновок:Якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то проектований кут буде прямим лише за умови, що хоча б одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій. Якщо проекція будь-якого кута, у якого одна зі сторін паралельна площині проекцій, являє собою прямий кут, то проектований кут теж буде прямим (рис. 3.19).

3.6 Задачі нарисної геометрії

У нарисній геометрії розглядають дві групи задач: позиційні та метричні. Задачі, в яких визначають розташування елементів простору між собою, називають позиційними. Групу позиційних задач складають задачі:

1) на взаємний порядок геометричних фігур;

2) на взаємну належність геометричних фігур;

3) на взаємний перетин геометричних фігур.

3.6.1 Перетин прямої з площиною загального положення. Перша позиційна задача. Ця задача – одна з основних задач нарисної геометрії.

Алгоритм розв’язання задачі

1. Через задану пряму проводять допоміжну площину окремого положення (проектуючу).

2. Будують лінію перетину двох площин – заданої і допоміжної.

3. Визначають точку перетину прямої з площиною.

4. Визначають видимість прямої відносно площини за допомогою конкуруючих точок.

Випадок 1. Перетин прямої  загального положення з проектуючою площиною   ₂ (рис. 3.20 а).    = К(К₁; К₂). Проекція точки перетину прямої  з площиною  на П₂ - К₂ визначається відразу: ₂  ₂ = К₂. За допомогою лінії зв’язку визначаємо горизонтальну проекцію точки К - К₁, виходячи з умови належності точки К прямій . Видимість на П₁ визначаємо за допомогою точок 1 і 2, конкуруючих відносно площини проекцій П₁.

Випадок 2. Перетин прямої  загального положення з площиною  загального положення (рис. 3.20 б).

На комплексному кресленні задачу розв'язуємо в такому порядку:

1)   ;   ₂;

2)    = MN; M  AC; N  BC;

3) MN   = К; M₂N₂  ₂; M₁N₁ ₁ = K₁; K₂  ₂.

4 ) Видимість прямої  по відношенню до площини  на П₁ і П₂ визначаємо за допомогою конкуруючих точок 1 i M; 2 і 3.

Рисунок 3.20 – Перетин прямої  загального положення з а) проектуючою площиною, б) площиною  загального положення