38.3.1. Кинетика экстрагирования растворенного вещества

Обычно принимается, что перед началом процесса извлечения компонент равномерно распределен по изотропной пористой структуре частиц инертного материала.

В начальный момент целевому компоненту, находящемуся в непосредственной близости к наружной поверхности, не приходится преодолевать значительных расстояний от внутренних точек пористого материала до его поверхности, поэтому скорость экстрагирования оказывается значительной. В последующие моменты, однако, компонент начинает поступать к наружной поверхности частицы из все более глубоких зон материала, сопротивление процессу переноса возрастает, и общая скорость экстрагирования уменьшается. Нестационарные поля концентрации извлекаемого компонента внутри материала непрерывно деформируются от резко неравномерных к более равномерным (рис. 38.4).

Рис. 38.4. Нестационарное распределение концентраций извлекаемого компонента внутри пластины из инертного пористого материала: .

Такой процесс нестационарного экстрагирования аналогичен процессу охлаждения твердого тела и описывается уравнением нестационарной диффузии, вывод которого практически не отличается от вывода уравнения нестационарной теплопроводности для тела плоской формы.

В процессах экстрагирования частицы инертных материалов, из которых извлекается целевой компонент, чаще всего имеют округлую форму, поэтому рассмотрим дифференциальное уравнение нестационарной диффузии для частицы шаровой формы. При этом воспользуемся полученным ранее общим соотношением конвективно-диффузионного переноса компонента, в котором применительно к диффузии в неподвижном растворе внутри частицы все компоненты скоростей равны нулю, а оператор Лапласа для тела центрально симметричной сферической формы содержит два слагаемых

(38.11)

где С_т – концентрация в твердой фазе, кг экстрагируемого вещества/м³ пор; – время; – коэффициент массопроводности; – текущий радиус ( – радиус пористого тела).

Правая часть дифференциального уравнения (38.11) соответствует разности входящих и выходящих из любого произвольного сферического слоя количеств диффундирующего компонента. Левая часть дифференциального уравнения (38.11) есть скорость изменения количества растворенного компонента в любом слое. Правая часть уравнения содержит частные производные, поскольку в нестационарном процессе фигурирует еще и частная производная по времени.

Условия однозначности к уравнению нестационарной диффузии (38.11):

(38.12)

где первое равенство соответствует известному равномерному начальному распределению концентрации компонента; второе – симметрии искомого нестационарного профиля концентрации в центре шаровой частицы; третье условие означает, что количество компонента, которое подводится изнутри частицы материала к его наружной поверхности вследствие диффузии, отводится от этой поверхности в основную массу экстрагента согласно механизму конвективной массоотдачи; – коэффициент массоотдачи. от наружной поверхности; и =С_п – градиент концентрации и концентрация компонента на наружной поверхности; С – концентрация компонента в потоке экстрагента вне частицы.

Последнее уравнение является математическим описанием процесса массоотдачи от поверхности сферического тела в основную массу жидкости. Сколько вещества в единицу времени подводится к межфазовой границе молекулярной диффузии, столько же отводится по механизму массоотдачи.

Введя безразмерные параметры

; ;

преобразуем уравнение 38.11 к виду

(38.13)

Отсюда

(38.14)

При Bi_д = ∞ (а практически уже при Bi_д > 20) С_п С, т.е. концентрация на поверхности равна концентрации в основной массе жидкости. Такой режим экстрагирования именуется внутридиффузионным. В условиях внутридиффузионного режима процесс экстрагирования протекает наиболее интенсивно, так как все внешнедиффузионное сопротивление снято.

При Bi_д << 1, , С = const. Такой режим называют внешнедиффузионным. Он характеризуется равномерным распределением концентрации в пористом объеме частицы в каждый момент времени экстрагирования. Путем увеличения коэффициента массоотдачи (этого можно достичь, увеличивая скорость обтекания частиц жидкостью) можно перевести процесс экстрагирования во внутридиффузионный режим, обеспечивая максимально возможную интенсификацию процесса.

Для решения системы (38.11) – (38.12) ее следует дополнить уравнением материального баланса, замыкающим систему (для прямотока):

, (38.15)

где V_п объем растворосодержащих пор всех частиц, поступающих в единицу времени в аппарат; С_т.н – начальная концентрация в порах твердых частиц; – осредненная концентрация в пористом объеме частиц к данному моменту времени; V – объем жидкого экстрагента, поступающего в единицу времени в аппарат; С_н – начальная концентрация экстрагента.

Отсюда

(38.16)

Для условий противотока получим

(38.17)

где С_к – конечная концентрация экстрагента.

Рассматриваемая система имеет следующее аналитическое решение

, (38.18)

в котором ; ; – время пребывания твердых частиц в аппарате, ( – скорость движения твердой фазы).

Уравнение (38.18) справедливо как для прямотока так и для противотока. Для прямотока , а для противотока ; – корни характеристического уравнения

Сходимость рядов, которыми представляются функции (38.18), такова, что уже при Fo_д > 0,1 можно ограничиться первым членом ряда.

Таким образом, с помощью кинетического уравнения (38.18) можно проследить за уменьшением концентрации С_т в порах твердого тела по длине прямоточного или противоточного аппарата при неизменных параметрах и Bi_д, а также определить длину аппарата, обеспечивающую снижение осредненной концентрации до заданной величины.

Аналогичные по структуре решения могут быть получены для частиц плоской, цилиндрической и некоторых других форм.

Рассмотренные теоретические методы описания кинетики экстрагирования основаны на представлении об изотропных свойствах пористого материала, постоянстве коэффициента диффузии извлекаемого вещества и применимы лишь к телам правильной геометрической формы. Когда условия такого рода не соответствуют реальному процессу (неизотропные материалы, например, растительного происхождения, частицы неправильной формы, полидисперсные материалы и т. п.), то используются непосредственные экспериментальные кинетические данные, получаемые при экстрагировании представительной порции частиц конкретного материала реальной геометрической формы. Такие данные используются для расчета периодических и непрерывных прямо- и про-тивоточных процессов вместо теоретических уравнений типа (38.18).