Независимость случайных величин

Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость СВ и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими СВ.

Определение. СВ и называются независимыми, если для любых имеет место равенство:

или, что эквивалентно, в терминах ФР

. (3.9)

Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то говорят, что СВ и являются зависимыми.

Таким образом, независимость СВ означает, что их совместная ФР равна произведению одномерных ФР и , или, как еще говорят, двумерная ФР факторизуется.

Отметим, что установить, являются зависимыми или независимыми СВ и , можно только по определению (3.9) и только, зная их совместный (двумерный) ЗР (никакая вероятностная интуиция при этом не работает).

Установим условия независимости СВ в дискретном и непрерывном случаях.

Лемма 1.

Пусть - , принимающий значения с вероятностями , ; , - вероятности возможных значений СВ , - вероятности возможных значений СВ .

ДСВ и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех и

, (3.10)

то есть вероятность факторизуется.

Если при каких-либо и равенство (3.10) не выполняется, то ДСВ и являются зависимыми.

(Случай счетного числа возможных значений у какой-либо из ДСВ или рассмотреть самостоятельно).

▲ Необходимость. Пусть дискретные случайные величины и являются независимыми. Тогда для любых .

Обозначим прямоугольник

со сторонами, параллельными осям

координат, который содержит точку

и не содержит других значений

.

Тогда

(по построению ) =

= (по свойству 4) =

= (в силу независимости случайных величин) = (по построению ),

то есть , и так можно сделать для любого значения .

Достаточность. Если выполняется равенство (3.10), то в соответствии с определениями ФР , имеем:

,

то есть ДСВ и являются независимыми ■.

Лемма 2.

Пусть - , - его ПВ, и - одномерные ПВ его координат, определяемые по формулам (3.8).

НСВ и являются независимыми тогда и только тогда, когда

(3.11)

для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная ПВ факторизуется.

Если при каких-либо равенство (3.11) не выполняется, то НСВ и являются зависимыми.

▲ Необходимость. Если НСВ и являются независимыми, то

.

Дифференцируя это равенство по и по , получаем:

и, следовательно, в соответствии с определениями ПВ , и , справедливо равенство:

в точках непрерывности функций и .

Достаточность. Проинтегрируем равенство (3.11) по первому аргументу в пределах от до и по второму аргументу в пределах от до . В результате получаем:

.

и, следовательно, в соответствии с определениями ФР , и для любых справедливо равенство:

,

то есть СВ и являются независимыми ■.

Леммы 1 и 2 показывают, что, если СВ и являются независимыми, то двумерный ЗР полностью определяется одномерными ЗР его координат (то есть понятие в этом случае вырождается).

Утверждения (3.10) и (3.11) лемм 1 и 2 сами могут служить определениями независимости СВ в дискретном и непрерывном случаях соответственно.

Пример.

а) Равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат.

Ранее были найдены одномерные ПВ координат:

Поскольку в этом случае , то СВ и являются независимыми.

б) Равномерное распределение в круге .

Ранее были найдены одномерные ПВ координат:

Поскольку в данном случае , то СВ и являются зависимыми.

Понятие независимости СВ обобщается на любое конечное число СВ следующим образом.

Определение. СВ называются независимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексов и для любых

или в терминах ФР для любой точки

,

где – ФР СВ , то есть многомерная ФР факторизуется.

Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы

,

во всех точках непрерывности функций и , .

Из независимости СВ в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно (примером тому по-прежнему служит пример Бернштейна С.Н., если в качестве СВ рассмотреть индикаторные СВ соответствующих событий). В дальнейшем при рассмотрении одновременно более двух СВ под их независимостью, по умолчанию, будет подразумеваться независимость в совокупности.