Числовые характеристики случайных векторов
Рассмотрим вначале двумерный .
Прежде, чем приводить
соответствующие определения, сформулируем
обобщение основной теоремы о математическом
ожидании (ОТМО) на случай функции двух
переменных
.
Теорема (обобщение ОТМО на двумерный случай).
Пусть
- некоторый
,
ЗР которого известен,
- неслучайная функция, область определения
которой содержит множество возможных
значений
,
- СВ, являющаяся функцией двух случайных
аргументов.
Если - , принимающий значения с вероятностями , и ряд
сходится, то у СВ
существует МО и
.
Если - с ПВ и несобственный интеграл
сходится, то у СВ
существует МО и
.
Заметим, что
приведенная теорема очевидным образом
обобщается и на случай функции
переменных
.
Теперь перейдем к рассмотрению числовых характеристик (ЧХ).
Основными ЧХ двумерного являются:
математическое ожидание
- вектор, координатами которого являются
математические ожидания СВ
и
(характеризует координаты средней
точки, около которой группируются
другие значения вектора
);дисперсия
- вектор, координатами которого являются
дисперсии СВ
и
(характеризует степень разброса
(рассеивания) значений вектора
около его среднего значения
);корреляционный момент
СВ
и
- МО произведения отклонений этих СВ
относительно их МО:
.
(3.17)
Как будет показано далее, корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между СВ и .
Для корреляционного момента справедливо также следующее выражение:
.
Таким образом, наряду с (3.12),
.
(3.18)
Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:
;
.
Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно не рассматривать как самостоятельную ЧХ, а использовать объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты:
.
Таким образом, можно считать, что имеет две основные ЧХ:
математическое ожидание ;
корреляционную матрицу
.
Математические
ожидания
и дисперсии
координат
могут быть вычислены как по двумерному
ЗР с помощью обобщения ОТМО, так и по
обычным формулам через одномерные ЗР
СВ
и
.
Так, если
-
,
то при
имеем:
,
где
,
а при
или
,
где
.
Аналогичны выражения
для
и
(написать самостоятельно).
Корреляционный
момент
вычисляется с помощью обобщения ОТМО,
когда функция
или
и только
по двумерному закону распределения:
если - , то
;
если - , то
.
Теоремы о числовых характеристиках
Теорема 1 (теорема сложения МО).
МО суммы двух любых СВ и равно сумме их МО:
.
▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.
Из обобщения ОТМО
при
имеем:
■.
По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа СВ:
.
Теорема 2 (теорема умножения МО).
МО произведения двух независимых СВ и равно произведению их МО:
.
▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.
Если НСВ
и
являются независимыми, то
.
Поэтому из обобщения ОТМО при
имеем:
■.
По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) СВ:
.