Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
Нормальное распределение в одномерном случае задается ПВ вида:
,
причем параметры
(предполагается, что
,
иначе распределение является вырожденным).
Определение. Говорят, что имеет многомерное нормальное (гауссовское) распределение, если его ПВ имеет вид:
,
(3.19)
где
- математическое ожидание
;
- корреляционная матрица
;
- определитель корреляционной матрицы
(предполагается, что
);
– алгебраическое дополнение к элементу
матрицы
(так, что
- элемент матрицы, обратной к
).
Несколько более компактно выглядит запись для многомерной нормальной ПВ в векторной форме:
,
где верхний индекс «Т» означает знак транспонирования.
Далее будет
использоваться для нормального
краткая запись:
.
Из выражения
(3.19) для ПВ видно, что нормальный закон
распределения полностью
определяется моментами первых двух
порядков: математическими ожиданиями
,
дисперсиями
и корреляционными моментами
.
Если
и его координаты являются попарно
некоррелированными
СВ, то есть
,
то корреляционная матрица
и обратная к ней
являются диагональными
,
.
Поэтому из (3.19) следует, что
,
где
- ПВ одномерного нормального распределения
с параметрами
.
Но это означает независимость СВ
.
Таким образом, для нормально распределенных СВ понятия независимости и некоррелированности совпадают (эквивалентны).
Другие замечательные свойства многомерного нормального распределения.
Если , то:
Все координаты имеют одномерные нормальные распределения:
(уметь доказывать при
).Все условные ЗР являются нормальными (уметь доказывать при ).
Если координаты являются независимыми СВ, то любая их линейная комбинация
также является нормальной СВ:
(уметь доказывать при
с помощью интеграла свертки).
Рассмотрим подробнее
случай
.
Пусть
-
,
у которого
.
В этом случае корреляционная матрица
имеет вид:
,
а определитель корреляционной матрицы
.
Поэтому ПВ двумерного нормального имеет вид:
.
Для двумерного
нормального
используется краткая запись:
(зависит от пяти параметров).
График двумерной ПВ имеет вид:
Линиями уровня являются эллипсы:
Найдем одномерные ПВ и координат .
,
то есть
.
Аналогично,
,
то есть
.
Таким образом, у двумерного нормального одномерные законы распределения всегда являются нормальными.
Найдем условные ЗР, если .
Из полученного вида условной ПВ следует, что она является ПВ нормального ЗР с параметрами
и
.
Полностью аналогично получаем, что условная ПВ
является ПВ нормального ЗР с параметрами
и
.
Таким образом,
если
- двумерный нормальный
,
то условные математические ожидания
и
являются линейными функциями условия
(или, другими словами, в нормальном
случае уравнения регрессии являются
линейными), а условные дисперсии
и
являются постоянными величинами.