§ 2. Лінійна залежність векторів.

2.1. Нехай ₁, ₂, …, _k - вектори лінійного простору E над полем К і ₁, ₂, …, _k - числа з поля К. Вектор y = _{1 1} + _{2 2} + … + _{k k}

називається лінійною комбінацією векторів ₁, ₂, …, _k; числа ₁, ₂, …, _k - коефіцієнти цієї лінійної комбінації.

Якщо ₁ = ₂ = … = _k = 0, то в силу теореми 2.14 у ми одержуємо, що y = 0. Але може бути і так, що існує лінійна комбінація векторів ₁, ₂, …, _k, у якій не всі коефіцієнти рівні нулю і яка дає в результаті нуль-вектор; у цьому випадку вектори ₁, ₂, …, _k називаються лінійно залежними. Іншими словами, вектори ₁, ₂, …, _k називаються лінійно залежними, якщо існують числа ₁, ₂, …, _k , не всі рівні нулю і такі, що

_{1 1} + _{2 2} + … + _{k k} = 0. (3)

Якщо ж рівність (3) можливо в єдиному випадку, коли ₁ = ₂ = … = _k = 0, то вектори ₁, ₂, …, _k називаються лінійно незалежними.

Нескінчена система елементів ₁, ₂ ,…, _n, … називається лінійно незалежною, якщо її довільна скінчена підсистема є лінійно незалежна.

2.2. Приклади.

а. У лінійному просторі лінійна залежність двох векторів означає, що вони паралельні одній і тій же прямій; лінійна залежність трьох векторів - що вони паралельні одній і тій же площині. Всякі чотири вектори в є лінійно залежні.

б. З'ясуємо, що означає лінійна залежність векторів ₁, ₂, …, _k

лінійного простору . Нехай вектор _i має координати ξ₁^(і), ξ₂⁽ⁱ⁾, …, ξ_n^(і) (і = 1, 2, ..., k); тоді

лінійна залежність _{1 1} + _{2 2} + … + _{k k} = 0 означає, що виконується n рівностей

₁ξ₁^(і) + ₂ξ₁⁽²⁾ + …+ _kξ₁^(k) = 0,

₁ξ₂^(і) + ₂ξ₂⁽²⁾ + …+ _kξ₂^(k) = 0,

………………………………. (4)

₁ξ_n^(і) + ₂ξ_n⁽²⁾ + …+ _kξ_n^(k) = 0,

причому серед сталих ₁, ₂, …, _k є відмінні від нуля; це - те саме визначення лінійної залежності, що ми дали для числових стовпців.

Таким чином, питання про лінійну залежність векторів ₁, ₂, …, _k у загальному випадку зводиться до питання про існування ненульового рішення в однорідної системи рівнянь з коефіцієнтами, які дорівнюють відповідним координатам даних векторів. Таке рішення існує, якщо ранг основної матриці цієї системи менше кількості невідомих . Тим самим отримане правило, що дозволяє встановлювати лінійну залежність чи незалежність заданих векторів простору по їхніх координатах.

в. Але в деяких випадках ми можемо робити висновки про лінійну залежність чи незалежність даної системи векторів не застосовуючи теореми про існування ненульового рішення однорідної системи рівнянь. Нехай, наприклад, у просторі узяті n векторів

е₁ = (1, 0, 0, …, 0), е₂ = (0, 1, 0, …, 0), …, е_n = (0, 0, 0, …, 0, 1).

Система (4) для цих векторів приймає вид

₁ ^. 1 + ₂ ^. 0 + ₃ ^. 0 + … + _n . 0 = 0,

₁ ^. 0 + ₂ ^. 1 + ₃ ^. 0 + … + _n . 0 = 0,

………………………………………..

₁ ^. 0 + ₂ ^. 0 + ₃ ^. 0 + … + _n . 1 = 0.

і, очевидно, допускає єдине розв’язок ₁ = ₂ = … = _n = 0. Таким чином, вектори е₁, е₁, …, е_n у просторі є лінійно незалежні.

г. Лінійна залежність векторів ₁ = ₁(t), ₂ = ₂(t), …, _k = _k(t) простору R[a,b] (чи C[a,b]) означає, що між функціями ₁(t), ₂(t), …, _k(t) існує співвідношення

_{1 1}(t) + _{2 2}(t) + … + _{k k}(t) = 0,

причому дійсні (комплексні) сталі ₁, ₂, …, _k не всі дорівнюють нулю. Наприклад, функції ₁(t) = cos²t, ₂(t) = sin²t, ₃(t) = 1 лінійно залежні, тому що має місце співвідношення

₁(t) + ₂(t) - ₃(t) = 0.

Перевіримо, що функції 1, t, t², …, t^k є лінійно незалежні. Допустимо, що існує співвідношення

₀ ^. 1 + ₁t + … + _kt^k = 0. (5)

Тоді, послідовно диференціюючи k раз рівність (5), ми одержимо систему k+1 рівнянь щодо величин _{0, 1}, …, _k з відмінним від нуля визначником (1.556). Вирішуючи систему за правилом Крамера (1.73), ми одержуємо, що

₀ = ₁ = … = _k = 0.

Отже, функції 1, t, t², …, t^k є лінійно незалежні в просторі R( ab), що ми і стверджували.

2.3. Відзначимо дві простих властивості систем векторів, зв'язаних з лінійною залежністю.

а. Л е м м а. Якщо деякі з векторів ₁, ₂, …, _k лінійно залежні, то і вся система ₁, ₂, …, _k лінійно залежна.

Д о в е д е н н я. Без обмеження загальності можна прийняти, що лінійно залежні вектори ₁, ₂, …, _j (j<k); таким чином, має місце співвідношення

_{1 1} + _{2 2} + … + _{j j} = 0,

де серед сталих ₁, ₂, …, _j є відмінні від нуля. За теоремою 2.14в і аксіомою 2.12 3) справедлива рівність

_{1 1} + _{2 2} + … + _{j j} + 0 ^. _{j + 1} + … + 0 ^. _k = 0;

вона показує, що вектори ₁, ₂, …, _j також лінійно залежні, тому що серед сталих ₁, ₂, …, _j, 0, …, 0 є відмінні від нуля.

б. Л е м м а. Вектори ₁, ₂, …, _k лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з цих векторів можна подати у виді лінійної комбінації інших.

Твердження, аналогічне сформульованому, уже зустрічалося нам колись: ми доводили його для числових стовпців. Якщо ми переглянемо ще раз цей доведення, то побачимо, що воно засновано тільки на можливості робити зі стовпцями операції додавання і множення на число. Отже, цей доведення можна провести для елементів будь-якого лінійного простору. Разом з цим і наша лема справедлива для будь-якого лінійного простору, що нам і потрібно.