§ 7. Евклідові простори.

7.1. Лінійний простір E над полем дійсних чисел R називається евклідовим, якщо в ньому вказане правило, яке ставить всяким двом векторам x, y з E деяке число з R, яке позначається (x, y) і називається скалярним добутком елементів x і y. Це правило задовольняє для довільних x, y, z з E і кожного слідуючим чотирьом аксіомам:

а. (x, y) = (y, x).

б. (x+y,z) = (x, z) + (y,z)

в. ( x,y) =

г. (x, x) > 0, якщо x 0, і (x, x) =0, якщо x = 0.

Евклидовий простір позначаємо , або , якщо потрібно підкреслити, що його розмірність дорівнює n.

7.2. Довжиною (нормою) вектора x евклідового простору називається число |x| = .

Якщо x – довільний вектор евклідового простору, довжина якого не дорівнює нулю, то довжина вектора дорівнює одиниці, він називається нормованим.

7.3. Кутом між ненульовими елементами x,y називається кут , який визначається за формулою і задовольняє нерівності .

7.4. У всякому евклідовому просторі має місце нерівність Коші–Буняковського .

§ 8. Ортонормований базис.

8.1. Два елементи евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Система елементів ,…, евклідового простору називається ортогональною, якщо .

Система елементів ,…, називається ортнормованою, якщо вона ортогональна і .

Якщо е₁, е₂, …, е_n – ортонормований базис простору ; , к = 1, …,n – дійсні числа і , то скалярний добуток має вид (x,y) = .

Теорема 4. Усяка ортогональна система ненульових елементів евклідового простору є лінійно незалежною.

Д о в е д е н н я. Нехай задана скінчена ортогональна система елементів ,…, . Розглянемо довільну лінійну комбінацію цих елементів _{1 1} + _{2 2} + … + _{n n} , де серед довільних чисел ₁ , ₂ …, _n є не рівні нулю. Тоді (( _{1 1} + _{2 2} +…+ _{n n} ), ) = , . Так як серед чисел ₁ , ₂ …, _n є відмінні від нуля, то це означає, що лінійна комбінація _{1 1} + _{2 2} + … + _{n n} не дорівнює нульовому елементу евклідового простору. Для нескінченої ортогональної системи елементів доведення аналогічне.

Теорема 5. В евклідовому просторі існує ортонормований базис.

Нехай ,…, – система лінійно незалежних елементів в евклідовому просторі . Розглянемо лінійну оболонку L( ,…, ), в якій система ,…, є базисом. Процес ортогоналізації системи елементів ,…, , який дозволяє побудувати базис в цій оболонці записується за допомогою формул ,

де . Одержані при цьому елементи є ненульові.

Бібліографічний список

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

2. Крупицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Высшая школа, 1985.

3. Шилов Г.Е. Математический аналіз. Конечномерные линейные пространста. М.: Наука, 1969.

З М І С Т