§ 4. Підпростори.
4.1.
Допустимо, що деяка сукупність L
елементів лінійного простору
має наступні властивості:
а)
якщо x
L,
у
L,
те x
+ у
L;
б)
якщо x
L,
–
елемент поля
K,
то
E.
Таким чином, нам задана сукупність елементів, і в ній визначені лінійні операції. Покажемо, що ми одержуємо тут також л і н і й н и й
п р о с т і р. Для цього потрібно перевірити для сукупності E з операціями а) - б) виконання аксіом 1.2 – 1.3. Аксіоми 1), 2), 5) - 8) задовольняються, оскільки вони задовольняються взагалі для всіх елементів простору . Залишається перевірити аксіоми 3) і 4). Нехай x - будь-який елемент із E; тоді за умовою E при будь-якому із поля K.
Візьмемо
= 0; тоді, оскільки по теоремі 1.4 у 0
x
= 0,
нуль-вектор належить сукупності E.
Тим самим виконана аксіома 3). Візьмемо
тепер
= –1;
оскільки по теоремі 1.4 (–1)x
є елемент, протилежний елементу
x, сукупність E разом з кожним елементом x містить і протилежний елемент. Таким чином, виконана й аксіома 4), і наше твердження цілком доведене.
Тому всяка сукупність L E, що задовольняє умовам а) і б), називається лінійним підпростором (чи просто підпростором) простору E.
4.2. Приклади.
а. Нуль-вектор простору E утворить, мабуть, найменший можливий підпростір простору E.
б. Весь простір Е є найбільш можливим підпростором простору E.
в. В просторі всі вектори, паралельні якій-небудь площині утворюють підпростір.
г. Розглянемо сукупність розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь
11ξ1 + 12ξ2 + …+ 1nξn = 0,
21ξ1 + 22ξ2 + …+ 2nξn = 0,
……………………………….
k1ξ1 + k2ξ2 + …+ knξn = 0
с
коефіцієнтами з поля дійсних чисел. Ця
система завжди сумісна, так як має
нульовий розв’язок.
Тоді сума двох довільних розв’язків
(n-вимірних
векторів)
(
,
,
…,
)
і
(
,
,
…,
)
системи є також розв’язком системи.
Числа
,
,
…,
також будуть розв’язком системи для
будь-якого дійсного числа
.
Таким чином сукупність розв’язків
системи
лінійних
однорідних рівнянь є підпростір простору
.
4.3.
Так як всякі
елементи простору E
лінійно залежні, то тим більше вони
лінійно залежні і в підпросторі L.
Значіть розмірність
довільного підпростору L
в
-вимірному
просторі E
не більше числа
.
В кожному підпросторі можна побудувати
згідно з теоремою 3.4 базис з кількостю
елементів, що дорівнює розмірності
цього підпростору.
4.4.
Вектори ξ1,
ξ2,
…, ξk
простору E
називаються
лінійно незалежними, якщо
з
співвідношення
ξ1+
ξ2
+…+
L
,
,…,
K
слідує,
що
=
=…=
=0.
Лінійна залежність векторів
,
,…,
із простору E
означає, що існує лінійна комбінація
ξ1+
ξ2
+…+
,
яка належить E
і при цьому серед чисел
,
,…,
є такі, що не дорівнють 0.
Найбільш можливе число лінійно незалежних векторів з простору E називається розмірністю E.
§ 5. Лінійні оболочки.
5.1. Важливим способом побудови підпросторів є утворення лінійних оболочок заданої системи векторів.
Нехай задана деяка система векторів x, y, z, … лінійного простору E; лінійною оболочкою системи векторів x, y, z, … називається сукупність всіх (скінчених) лінійних комбінацій
x+
y+
z+
… (8)
с коефіцієнтами , , ,… з поля K. Для цієї сукупності виконуються умови 4.1 а, б; тому лінійна оболочка векторів x, y, z, … є підпростором простору E. З іншої сторони всякому підпростору, якому належать вектори x, y, z, …, належать також всі їх лінійні комбінації (8). З цього випливає, що лінійна оболочка векторів x, y, z, … є найменший підпростір, якому належать ці вектори.
Розмірність лінійної оболочки можна визначити як максимальне число лінійно незалежних векторів в системі x, y, z, …
5.2. П р и к л а д и.
а. Лінійна оболочка векторів е1, е2, …, еn , які утворюють базис деякого лінійного простору E, співпадає з усім простором E.
б. Лінійна оболочка пари (некомплонарних) векторів простору складається з усіх векторів, які паралельні площині цих векторів.
в. Лінійна оболочка 0 . 1 + 1t + … + ktk , де 0, 1, …, k – дійсні числа, системи дійсно значних функцій 1, t, t2, …, tk співпадає з
сукупністю
всіх дійснозначних многочленів не вище
-ї
степені, залежних від дійсної змінної
t
.
§ 6. Г і п е р п л о щ и н и
6.1.Нехай
L
є деякий підпростір лінійного простору
E
і
– фіксований вектор з простору E,
якй взагалі не належить L.
Розглянемо сукупність H
всіх
векторів x,
які одержуються як сума x
=
+
y,
де y
пробігає весь підпростір L.
Сукупність H
називається гіперплощиною.
6.2. П р и к л а д и.
а. В просторі сукупність всіх векторів, які виходят з початку координат і кінці яких закінчуються на деякій площині , утворюють гіперплощину. Ця гіперплощина є підпростором в тому і тільки в тому випадку, коли площина проходить через початок координат.
б. Відомо, що сукупність розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь
11ξ1 + 12ξ2 + …+ 1nξn = 0,
21ξ1 + 22ξ2 + …+ 2nξn = 0,
……………………………….
k1ξ1 + k2ξ2 + …+ knξn = 0
є
підпростір L
простору
.
Нехай
(
,
,
…,
)
– деякий розв’язок
системи
лінійних
неоднорідних рівнянь
11ξ1 + 12ξ2 + …+ 1nξn = 0,
21ξ1 + 22ξ2 + …+ 2nξn = 0,
……………………………….
k1ξ1 + k2ξ2 + …+ knξn = 0
Множина
всіх розв’язків
системи
лінійних неоднорідних рівнянь співпадає
з сукупністю всіх сум
(
,
,
…,
)+
(
,
,
…,
),
де пробігає підпростір L.