Інтегрування частинами.

Якщо і  диференційовані функції, то або Інтегруючи, маємо

.

Ця формула застосовується тоді, коли під знаком інтеграла маємо добуток алгебраїчної і неалгебраїчної функцій, наприклад, і т.ін. Крім того метод інтегрування частинами дає можливість проінтегрувати такі елементарні функції, як . При цьому за обирається така функція, яка при диференціюванні спрощується, до таких відносяться: тощо. За обирається та частина підінтегрального виразу, що містить і легко інтегрується.

Приклади.

а) Знайти .

Покладемо Тоді

Отже маємо:

б) Знайти .

Покладемо тоді

Маємо:

Інтегрування дробових раціональних функцій.

Означення. Дробова раціональна функція R(x) називається правильною, якщо степень багаточлена нижча за степінь багаточлена , тобто якщо .

.

Усяку неправильну дробову раціональну функцію шляхом ділення чисельника на знаменник можна зобразити у вигляді суми багаточлена та правильної дробової раціональної функції.

Розглянемо інтегрування найпростіших дробових раціональних функцій:

1.

2. , ;

3. , ;

;

Розглянемо інтеграл:

.

У чисельнику виділимо диференціал знаменника

,

де ;

Інтегрування правильних дробових раціональних функцій

Розглянемо правильну дробову раціональну функцію

, . (1)

Можна довести, що багаточлен, який стоїть у знаменнику функції (1), можна зобразити у вигляді

, (2)

в якому квадратні тричлени не мають дійсних коренів.

Тоді функцію (1) можна розкласти на найпростіші раціональні дробові функції так:

(3)

Невідомі коефіцієнти шукаються таким чином: права частина рівняння (3) приводиться до спільного знаменника, потім дорівнюються коефіцієнти при однакових степенях у багаточленах, які стоять у правій та лівій частинах. У результаті одуржують систему рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Розв’язавши цю систему, знаходять вказані коефіцієнти.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл .

Дріб є неправильний.

Виділяємо цілу частину, поділивши чисельник на знаменник

х ³ + 0х² + х + 2 х² – 7х + 12

х ³ – 7х² +12х х + 7 +

7х² – 11х + 2

7х² – 49х + 84

38х – 82

.

Отже, інтеграл береться від правильного раціонального дробу . Розкладемо його знаменник на лінійні множники:

.

Тоді заданий дріб набуває вигляду

Зводимо дроби правої частини до спільного знаменника і відкидаючи його, маємо

Із рівності многочленів чисельників випливає рівність їхніх значень при однакових значеннях х:

Отже, .

Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл .

,

.

.

Зауваження. Інтегрування неправильних дробових раціональних функцій здійснюється так: спочатку чисельник ділиться на знаменник за правилом ділення багаточленів; у результаті одержують цілу раціональну функція (багаточлен) та правильну дробову раціональну функцію. Остання розкладається на найпростіші раціональні функції, які потім інтегруються.