Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

1. Розглянемо інтеграл

, (4)

де - раціональна функція від .

За допомогою підстановки інтеграл (4) перетворюємо до виду , тобто під знаком інтеграла раціональна функція від . Інтегрування таких функцій здійснюється методом, розглянутим вище.

2. . (5)

Приклад.

.

Зауважимо, що інтеграл другого типу – це частинний інтеграл першого типу.

3. . (6)

4. . (7)

Приклад.

.

5. . (8)

Під знаком інтеграла виділяється окремим множником , а виражається через , потім заміна .

- це інтеграл від цілої раціональної функції.

6. Аналогічно знаходяться інтеграли типу

. (9)

Приклад.

7. У результаті таких перетворень інтеграл дорівнюватиме сумі інтегралів типу

, .

У першому випадку необхідно скористатися формулою .

У другому – зробити таке перетворення

- інтеграл від цілої раціональної функції.

8. . (10)

9. . (11)

10. . (12)

Інтеграли цих типів знаходяться з використанням формул

,

,

.

Приклад.

11. Інтеграли типу де  раціональна функція змінних u та v, можна привести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки

Приклад.

Підставляючи замість їх значення через t, маємо

Приймаючи до уваги, що маємо

.

Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій.

Розглянемо інтеграли типу , (13)

де - дробові раціональні показники, - раціональна функція.

Це означає, що з величинами здійснюються тільки раціональні операції. Для знаходження інтегралів типу (13) використовують підстановку

, (14)

де - найменший спільний знаменник дробів .

За допомогою підстановки (14) інтеграл (13) перетворюється на інтеграл від раціональної функції.

Приклад.

.

t ⁵ t+1

t ⁵+t⁴ t⁴-t³+t²-t+1

- t⁴

- t⁴-t³

t ³

t ³+t²

- t²

- t²-t

t

t +1

-1

.

Розглянемо інтеграл виду

,

де , .

Тоді

:

а)

;

б)

.

Інтеграли типу

, , ,

знаходяться з використанням тригонометричних підстановок:

у першому випадку підстановки (або );

у другому випадку підстановки (або );

у третьому випадку підстановки .

У результаті їх застосування під знаком інтеграла лдержують раціональні функції від тригонометричних функцій .

.

.

.

Приклад.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Вища математика: Підручник: У 2 кн.  2-ге вид., перероб. і доп.  К.: Либідь, 2003.  Кн. 1. Основні розділи / Г.Й. Призва, В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; За ред. Г.Л. Кулініча.  400 с.

2. Вища математика: Підручник: У 2 кн.  2-ге вид., перероб. і доп.  К.: Либідь, 2003.  Кн. 2. Спеціальні розділи / Г.Л. Кулініч, Є.Ю. Таран, В.М. Бурим та ін.; За ред. Г.Л. Кулініча.  368 с.

3. Корж О.П. Елементи аналітичної геометрії і лінійної алгебри. Навч. посібник для студентів економічних спеціальностей вищих навч. закладів.  Харків: Студцентр, 2001.  200 с.

4. Вища математика: посібник для самостійного вивчення курсу/ за ред. проф Синєкопа М.С./ В.Г. Гула, М.С. Синєкоп та ін. ХДУХТ, Харків. – 2007. – 303 с.

5. Вища математика для економістів: навчальний посібник/ Макаренко В.О. К.: Знання, 2008. — 517 с.

6. Вища математика: навчальний посібник: Вступ до математичного аналізу. Диференційне числення функції однієї та багатьох змінних/ В.В. Полевич, Л.О. Пархоменко . ХДУХТ, Харків. – 2010. – 164 с.

7. Скалярный и векторный анализ для классического инженерного образования/ Ю.Л. Геворкян, О.Л. Григор’єв. НТУ “ХПІ”, Харків. – 2010. – 650 с.

8. Вища математика “Практикум”. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – К.: ЧУЛ, 2003. – 536 с.

9. Вища математика. Тести.: навчальний посібник. Ч1./ Крутовий Ж.А., Усіна Г.В. / ХДУХТ, Харків. – 2007. – 159 с.

10. Вища математика. Тести.: навчальний посібник. Ч2./ Крутовий Ж.А., Усіна Г.В. / ХДУХТ, Харків. – 2009. – 165 с.