Числова послідовність. Границя числової послідовності.

Означення. Якщо кожному натуральному числу поставлено у відповідність дійсне число , то множина чисел називається числовою послідовністю.

Приклад. ,

, , , , , , , .

Видно, що члени числової послідовності наближаються до числа .

Візьмемо досить мале дійсне число , наприклад .

Питання. Для яких справедлива нерівність ?

, , , .

Якщо , то для і т.ін.

Означення. Число називається границею числової послідовності при умові, що прямує до нескінченності , якщо для будь якого дійсного числа можна вказати таке число , що для всіх справедлива нерівність .

Це записується так

.

Приклад. ,

.

Справді, для , , , , , , , , .

Геометричний сенс: усі члени числової послідовності, починаючи з , знаходяться

в - околі точки (рис.1).

Рис. 1

У розглянутому прикладі в - околі точки 2.

Границя функції.

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь-якого можна знайти таке , що для всіх значень , що задовольняють умові , справедлива нерівність (рис.2).

Пишуть .

Рис.2

Приклад. ,

.

Справді, , , , , .

Означення. Якщо прямує до і при цьому приймає значення тільки менше (більше) ніж , то говорять про границю ліворуч (праворуч) і пишуть - правобічна границя, - лівобічна границя.

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь-якого можна знайти таке , що для всіх значень , що задовольняють умові , справедлива нерівність .

Пишуть .

Приклад. , ,

, , , , , .

Нескінченно малі та нескінченно великі функції.

Означення. Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого великого числа можна знайти таке дійсне число , що для всіх , які задовольняють умові , справедлива нерівність .

Позначають

Приклад. ,

, , , , , , або .

Означення. Функція називається нескінченно малою при (або при ), якщо , або для будь-якого малого можна знайти число таке, що для справедлива нерівність .

Приклад. ,

, - нескінченно мала функція при .

Теорема. Нехай при ( ) функція є нескінченно великою, тоді функція буде при ( ) нескінченно малою, і навпаки.

Приклад. при нескінченно велика, - нескінченно мала при .

Властивості нескінченно малих.

1. Сума певного числа нескінченно малих функцій є нескінченно малою функцією.

2. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є нескінченно малою функцією.

3. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, яка має границю, відмінну від нуля, є функцією нескінченно малою.

Властивості границь.

1. , якщо функція елементарна та існує в точці .

2. Нехай функції і мають границі при , відповідно, , , тоді справедливі співвідношення:

   1. ;

   2. ;

   3. , тільки якщо ;

3. Якщо існують скінченні границі , , причому обидві одночасно не дорівнюють нулю, тоді:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

4. , якщо існує додатна границя .

Приклади.

1. .

2. .

3. .

Перша визначна границя.

.

Цією границею часто користуються, знаходячи границі широкого класу функцій. Розглянемо приклад. Знайти границю

.

Друга визначна границя. Приклади.

,

або

.

Приклади.

1. .

2. .

3.

Зауваження. Логарифм за основою називається натуральним і позначається .

Еквівалентні нескінченно малі функції та їх застосування при знаходженні границь.

Нехай та є нескінченно малі при .

Означення. Нескінченно малі функції та називаються еквівалентними при , якщо .

Пишуть .

Приклад. При :

.

Дійсно,

.

Теорема. Границя частки двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо одну з цих функцій або обидві замінити еквівалентними нескінченно малими функціями.

Приклади.

1. ;

2. .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬГНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.

ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Лекція 7.

План

1. Похідна функції. Її механічний економічний та геометричний зміст.

2. Похідні функцій: .

3. Похідна суми, добутку, частки диференційованих функцій.

4. Похідні функцій: .

5. Обернена функція та її диференціювання.

6. Похідні функцій: .

7. Похідна складної функції. Приклади.

8. Похідна функції, заданої неявно. Приклади.

9. Застосування похідних.

10. Поняття про функції багатьох змінних.