2.2.4. Раскрытие неопределенности типа

Если функция, стоящая под знаком предела представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится к неопределенности после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к виду путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное выражение), приводящее к формулам сокращенного умножения.

Примеры.

1)

2)

Задания для самостоятельной работы

1) 4) 7) 10) 13) 16) 19) 22)	2) 5) 8) 11) 14) 17) 20) 23)	3) 6) 9) 12) 15) 18) 21) 24)
25) 28)	26) 29)	27) 30)

3. Дифференциальное исчисление. Производная

3.1. Определение производной. Правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

Примеры.

Найти производную функции, пользуясь определением.

, х>0

1) ,

2) ,

3)

4)

5)

6) для х>0, т.к.

х₀ – произвольно выбранная точка.

х=0 – только правостороннюю производную.

7) ,

8) ,

9) .

10) 11) .

12) .

существует, но функция не дифференцируется, т.е. не имеет конечной производной.

3.2. Формулы дифференцирования. Техника дифференцирования

Таблица производных

где c-константа

Примеры.

Найти производные функций

1) 2) 3)

4) 5)

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)

Задания для самостоятельной работы

Найти производные функций

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36)

4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

4.1. Применение производной при нахождении пределов.

Правило Лопиталя

(для неопределенностей вида )

Предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел отношения производных существует.

Примеры.

1.

2.

3.

4.

5.

Раскрытие неопределенностей вида

Вычисление пределов функций можно осуществлять при помощи преобразования

,

- логарифмическое тождество.

В силу непрерывности показательной функции:

Пример

Задания для самостоятельной работы

1) 2)

3) 4)

5) 6)

4.2. Экстремумы функции (локальные).

Справочный материал.

Определение 1. Функция называется возрастающей на множестве если для любых и выполняется условие

Определение 2. Функция называется убывающей на множестве если для любых из

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её первой производной: если для всех x из то возрастает на множестве если для всех то убывает на этом множестве. Это достаточное условие монотонности функции.

Определение 3. Внутренние точки области определения функции в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Производная может менять знак только при переходе через критические точки и точки разрыва функции.

Теперь мы можем сформулировать ПРАВИЛО нахождения интервалов монотонности функции

1. Находим область определения функции

2. Вычисляем производную и находим критические точки функции.

3. Критическими точками и точками разрыва функции разбиваем область определения функции на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет знак, т.е. интервалы знакопостоянства

4. Исследуем знак на каждом из интервалов знакопостоянства. Если на рассматриваемом интервале то на этом интервале возрастает, если же то на этом интервале убывает.

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности функции

РЕШЕНИЕ:

1.

2.