4.5. Общая схема исследования функций и построение их графиков.
Справочный материал.
Способ построения графика функции “по точкам” не является совершенным. Использование аппарата производной при построении графика функции значительно облегчает эту задачу.
При исследовании и построении графиков функций можно использовать следующую схему. Обратите особое внимание на эту схему, так как по ней будем проводить изучение свойств и построение графиков основных элементарных функций.
Найти область определения функции.
Выяснить, не является ли функция чётной, нечётной, периодической.
Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (если это не вызывает затруднений).
Исследовать функцию на непрерывность, найти и исследовать точки разрыва.
Найти асимптоты графика функции.
Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы.
Найти промежутки выпуклости, вогнутости. Исследовать функцию на перегиб.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования. Для уточнения графика можно найти несколько дополнительных точек, составив таблицу значений.
Примечание. Рекомендуется результаты исследования наносить на чертёж постепенно, по ходу работы по схеме. В этом случае ошибка, которую можно допустить при исследовании, обнаруживается сразу, как только данный пункт схемы придёт в противоречие с предыдущими результатами.
Пример
4.8. Построить
график функции
РЕШЕНИЕ:
1. Область определения функции
2.
Функция не является ни чётной, ни нечётной
(общего вида), так как
и
Поэтому график функции не симметричен
относительно оси
и начала координат. Функция непериодическая.
3.
Точки пересечения с осью
Кривая
с осью
не пересекается, так как точка
не
Интервалы знакопостоянства укажем в
табл.6.
Таблица 6.
x |
(-∞;0) |
0 |
(0;2) |
2 |
(2;+∞) |
y |
-- |
не существует |
-- |
0 |
+ |
Знаки
функции легко определить, если взять
по одной пробной точке в каждом интервале.
Например,
т.е.
и т.д.
4.
Функция элементарная, следовательно,
непрерывна в области определения;
точка разрыва функции. Исследуем её:
где точка разрыва 2-го рода.
5. Асимптоты. Из п.4 следует, что уравнение вертикальной асимптоты.
Наклонная
асимптота
Горизонтальная
асимптота
6. Для нахождения промежутков монотонности функции и её экстремумов найдём производную:
при
Имеем
одну критическую точку
Составим
табл.7, разбив
на интервалы.
Таблица 7
x |
(-¥; 0) |
0 |
(0; 4) |
4 |
(4; +¥) |
y¢ |
- |
не существует |
+ |
0 |
- |
y |
↓
|
точка разрыва |
↑
|
0,6 max |
↓
|
В точке x=4 локальный максимум
7. Исследуем функцию на перегиб
х=6 - точка, подозреваемая на перегиб.
yII -- +
выпукла 6 вогнута
y
8. Строим график функции (рис. 4.11).
Рис.4.11