8.2.2. Структура математической модели химического реактора

Математические модели высоких уровней, как правило, включают несколько уравнений: дифференциальных, обыкновенных и в частных производных. Поэтому в общем случае математическая модель реактора – это сложная система уравнений, и количественные расчеты на основе этой модели проводят на ЭВМ. Иногда при описании химического процесса на нижних уровнях возможно применение сравнительно простых математических методов.

Протекающий в реакторе химический процесс – это единство химической реакции и процессов переноса (тепло-, массопереноса и переноса импульса). Уравнения, входящие в математическую модель, учитывают все эти явления. Но, если для описания каждого из них использовать свои уравнения, математическая модель получится многомерной, что даже при низких уровнях иерархии затруднит нахождение решений такой системы уравнений, то есть осложнит технологический расчет химического реактора.

Поэтому при разработке математической модели ставится задача понизить размерность модели – по возможности объединить сущность отдельных элементов химического процесса в одном–двух уравнениях. Для этого целесообразно в качестве исходных посылок использовать какие-либо фундаментальные законы, например законы сохранения материи и энергии.

Математическим выражением законов сохранения являются балансовые уравнения – уравнения материального и теплового балансов. В уравнении материального баланса учитывают все изменения, происходящие с веществом во времени и в пространстве в ходе химической реакции и в процессе диффузии (массопереносе) или при движении элементов потока в реакторе (перенос импульса). Аналогично уравнение энергетического (теплового) баланса может учесть все энергетические изменения в реакторе, происходящие как в ходе реакции, так и в результате процессов переноса.

Так как химический процесс в реакторе протекает во времени и в пространстве, то для составления балансовых уравнений нужно предварительно выбрать элементарные объем и промежуток времени.

Уравнения материального баланса составляют по одному из компонентов – участников реакции (реагенту или продукту), отражая в уравнении все изменения, происходящие с этим компонентом. Если реакция сложная, то математическое описание, как правило, включает несколько уравнений материального баланса по нескольким веществам, каждое из которых участвует, по меньшей мере, в одной из простых реакций, составляющих сложную.

Уравнение материального баланса для реакции А  R по веществу A учитывает все виды прихода и расхода этого компонента в пределах элементарного объема V за промежуток времени  (8.4):

, (8.4)

где – количество вещества A вносимого в элементарный объем V за время  с потоком участников реакции,

– количество вещества A, выносимого из объема V за время  с потоком участников реакции,

– количество вещества A, израсходованного на химическую реакцию (или образовавшегося в её ходе) в объеме V за время ,

– накопление вещества A в объеме V за время .

Аналогично составляют и уравнение теплового баланса. Для элементарного промежутка времени рассматривают все тепловые потоки, которые входят, выходят и образуются внутри элементарного объема. Их сумма равна накоплению (изменению) теплоты в объеме V за время  (8.5):

, (8.5)

где Q_вх – теплосодержание веществ, входящих в объемVза время,

Q_вых – теплосодержание веществ, выходящих из объема V за время ,

Q_х.р – теплота, выделившаяся или поглощенная в результате реакции, протекающей в объеме V за время ,

Q_то – теплота, израсходованная на теплообмен с окружающей средой объема V за время ,

Q_нак – теплота, накопившаяся в объеме V за время .