19. Нескінченно малі функції та їх властивості.

З поняттям границі функції тісно пов’язане поняття нескінченно малої функції.

Означення. Функція називається нескінченно малою при , якщо .

Тобто, якщо .

Аналогічно визначаються функції, нескінченно малі при .

Наприклад, функція – нескінченно мала при , – нескінченно мала при , а – нескінченно мала при .

Теорема. Якщо функції та нескінченно малі при , то функції – також нескінченно малі при .

Доведення. Доведемо це твердження лише для суми функцій (для різниці та добутку доводиться аналогічно, зробіть це самостійно). Отже, оскільки – нескінченно мала при , то . А оскільки – нескінченно мала при , то . Якщо тепер покласти , то з нерівності буде випливати, що водночас і . Тоді

, а це й означає що функція – нескінченно мала при .

Звідси, зокрема, випливає, що сума скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала..

Зауваження. Частка двох нескінченно малих функцій не обов’язково функція нескінченно мала. Наведемо приклад. Розглянемо функції . Обидві ці функції нескінченно малі при . Але не є нескінченно малою при .

Теорема. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є функція нескінченно мала.

Доведення. Нехай функція обмежена при , а функція – нескінченно мала при . Тоді у деякому -околі точки виконується нерівність , де . Крім того . Якщо тепер , то матимемо:

, тобто – нескінченно мала при .

Зокрема, добуток нескінченно малої функції на сталу є функція нескінченно мала.

Теорема. Якщо функція – нескінченно мала при , то функція – нескінченно велика при . І навпаки, якщо функція нескінченно велика при , то функція – нескінченно мала при .

Доведення. Нехай – нескінченно мала при . Тоді . Задамо довільне . Розглянемо при :

, якщо обрати . Це й означає, що функція – нескінченно велика при .

Друга частина твердження доводиться аналогічно.

20. Властивості границь функцій.

Властивість 1. Якщо функція має границю при , то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що функція у точці має дві границі і , причому . Тоді . Оскільки , то . А оскільки також , то . Позначимо . Тоді, якщо , то будуть водночас виконуватись нерівності , . Оскільки ці нерівності виконуються для будь якого додатного , то покладемо, наприклад, . Тоді матимемо:

,

тобто додатне число менше самого себе, що неможливо. Отже функція може мати у даній точці лише одну границю.

Властивість 2. Якщо існує скінченна границя то таке , що на множині функція обмежена.

Доведення. Нехай . Тоді . Отже на множині виконано:

, а це й означає, що на цій множині функція обмежена.

Властивість 3. Якщо , причому , то таке, що на множині функція має той же знак, що й число .

Доведення. Оскільки , то . Або

. (20.1)

Оскільки , то або . Якщо , то оберемо настільки малим, щоб виконувалося . Тоді з правої частини нерівності (20.1) випливає, що . Якщо , то оберемо настільки малим, щоб виконувалося . Тоді з лівої частини нерівності (20.1) випливає, що . Таким чином на множині функція зберігає знак числа .

Ця властивість називається властивістю зберігання знаку границі.

Властивість 4. Якщо , причому , то таке, що функція обмежена на множині .

Доведення. Оскільки , то . Покладемо . Оскільки , то , звідки , отже , якщо тільки , тобто функція обмежена на множині .

Властивість 5 (теорема про «двох полісменів»). Якщо таке, що виконано нерівність:

, (20.2) і якщо

, (20.3) то існує .

Доведення. Скористаємось означенням границі функції за Гейне. Нехай – довільна послідовність значень аргументу така, що : , та . Тоді внаслідок (20.3):

.

Внаслідок умови (20.2) маємо:

.

А тоді згідно з теоремою про «двох полісменів» для послідовностей (див. п. 10) звідси випливає, що . І згідно з означенням границі функції за Гейне це означає, що .

Властивість 6. Якщо (або ), і , , то .

Для доведення цієї властивості достатньо скористатися означенням границі функції за Гейне та відповідними властивостями границь послідовностей.

Властивість 7 (про розклад функції, що має границю на сталу і нескінченно малу). Для того, щоб число було границею функції при , необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність , де – нескінченно мала при .

Доведення. Нехай спочатку . Тоді . Це означає, що функція є нескінченно малою при . А тоді , де – нескінченно мала при .

Навпаки, нехай тепер , де – нескінченно мала при . Тоді . Тобто , а це й означає, що . Теорему доведено.

На підставі цієї властивості доведемо наступне твердження.

Теорема. Нехай . Тоді

а) ,

б) ,

в) якщо , то .

Доведення. На підставі попередньої теореми маємо:

, де – нескінченно малі при . Звідси:

, що на підставі тієї ж теореми дає: .

Далі: .

Величини – нескінченно малі при , отже .

Для частки функцій маємо:

.

Покажемо, що другий доданок цього виразу є нескінченно мала при . Дійсно, оскільки – нескінченно малі при , то , а також .

Покладемо , і оберемо . Тоді при виконанні нерівності буде виконано:

.

Звідси:

.

А оскільки – будь яке як завгодно мале додатне число, то за його рахунок і число також можна зробити як завгодно малим, тобто меншим, ніж будь яке, наперед задане число. Це й дає потрібне. Отже

.

Теорему доведено.

Відмітимо, що якщо – стала функція, то її границя , тобто дорівнює тій самій сталій. З цього факту і з теореми про границю добутку випливає властивість:

, тобто сталий множник можна виносити за знак границі.

Приклад. Обчислити

.

Маємо:

.