21. Границя монотонної та обмеженої функції. Критерій Коші існування границі функції.

Теорема. Якщо функція визначена і монотонна на відрізку , то існують скінченні , , а також існують скінченні , .

Доведення. Нехай для визначеності функція зростаюча на . Зафіксуємо точку . Тоді : . Отже множина значень функції на півінтервалі обмежена зверху, і за теоремою про існування точної верхньої грані існує , де . Згідно з означенням точної верхньої грані виконано умови:

а) ,

б) .

Позначимо . Якщо , то , і оскільки функція зростаюча, то . Таким чином : . Згідно з означенням границі зліва це означає, що існує . Аналогічно доводиться існування , причому .

Означення. Будемо казати, що функція задовольняє в точці умову Коші, якщо ця функція визначена в деякому околі точки , за виключенням, може бути, самої точки , і, крім того

.

Тобто за рахунок достатньої близькості значень аргументу до точки значення функції при цих значеннях аргументу можна зробити як завгодно близькими.

Лема. Нехай існує таке, що функція визначена в -околі точки за виключенням, може бути, самої точки , і нехай для будь якої послідовності , всі елементи якої належать вказаному околу, і такої, що , послідовність має скінченну границю. Тоді ця границя не залежить від вибору послідовності .

Доведення. Нехай є дві послідовності такі, що вони належать вказаному околу, і . Утворимо послідовність:

.

Позначимо -й член цієї послідовності як . Очевидно, що , і, крім того, всі елементи послідовності належать -околу точки . Згідно умови леми існує скінченна границя . А оскільки послідовності є підпослідовностями послідовності , то .

Лему доведено.

Теорема (критерій Коші). Для того, щоб існувала скінченна границя , необхідно і достатньо, щоб функція задовольняла у точці умову Коші.

Доведення. Необхідність. Нехай існує . Тоді

.

Нехай такі, що . Тоді

.

Достатність. Нехай виконано умову Коші. Нехай – довільна послідовність, така, що , і . Покажемо, що послідовність має скінченну границю, яка не залежить від вибору послідовності .

Згідно умови Коші маємо:

.

Оскільки , то за цим можна знайти таке , що виконано: . Тобто : , , а тоді . Отже послідовність фундаментальна, і згідно критерію Коші для послідовностей вона має скінченну границю. Внаслідок леми ця границя не залежить від вибору послідовності . Отже згідно означенню границі функції за Гейне існує скінченний .

Теорему доведено.

22. Неперервність функції в точці.

Розглянемо графіки декількох функцій.

Рис. 40.

Яка ознака поєднує графіки, зображені на рис. 40 (б,в,г), на відміну від графіка, зображеного на рис. 40(а)? Ми можемо сказати, що графік на рис. 40(а) є суцільною лінією, в той час, як графіки на рис. 40 (б,в,г) суцільними лініями не є. Іншими словами, графік на рис. 40(а) можна провести, не видриваючи олівця від паперу, а з графіками рис. 40(б,в,г) це зробити неможливо.

Якщо розглянути точку на цих графіках, то помітимо, що функція визначена у цій точці, і, якщо змінити значення на малу величину, то значення функції теж зміниться на малу величину. З іншими функціями на рис. 33 така ситуація не спостерігається. Функція змінюється стрибковидно при переході через точку . Значення функції прямують до нескінченності при . А функція не визначена у точці , хоча має у цій точці скінченні однобічні границі.

Такі властивості функцій відображають відповідні властивості процесів, які цими функціями описуються. Розглянемо приклади.

1. Залежність атмосферного тиску від висоти над рівнем моря задається барометричною формулою:

, де – додатні сталі. Графік цієї функції має вигляд

Рис. 41.

Бачимо, що це суцільна лінія, тобто графік типу 40(а).

2. Відомо, що залежність електричного опору металів від температури має приблизно лінійний характер, коли вище деякої критичної точки (своєї для кожного металу). Якщо , то опір різко падає майже до нуля. Це явище називається надпровідністю. Спостерігається воно при дуже низьких температурах, близьких до абсолютного нуля. Наприклад для алюмінія ця температура дорівнює градуса за шкалою Кельвіна. Близьке до нього явище надтікучесті, коли деякі рідини при досягненні певної критичної температури (теж дуже низької; наприклад, для рідкого гелія вона складає 2,19 градусів за шкалою Кельвіна) майже повністю втрачають в’язкість.

Схематична залежність електричного опору металів від температури показана на рис. 42.

Рис. 42.

3. Залежність густини ідеального газу від температури виражається формулою:

, де – стала. Графік такої залежності має вигляд:

Рис. 43.

Тобто маємо графік типу 40(в). Існують також процеси типу 40(г). Все це свідчить про те, що ми повинні вміти встановлювати подібні властивості функцій і не лише у тих випадках, коли є графічні їх зображення, а й тоді, коли функції задаються аналітичним способом. Але це можливо тільки тоді, коли ми маємо чіткі математичні означення всіх цих ситуацій. Отже саме до них ми тепер і переходимо.

Означення. Функція називається неперервною у точці , якщо виконано наступні умови:

1) функція визначена в деякому околі точки ,

2) існує ,

3) .

Якщо використати означення границі функції у точці на мові « », то можна означення неперервності функції у точці сформулювати так:

Функція називається неперервною у точці , якщо вона визначена у точці , і .

Зверніть увагу: у означенні границі функції у точці суттєвою особливістю, як ми відмічали, була умова, що , або . Тобто функція могла бути невизначеною в точці . І навіть у тому випадку, коли вона визначена у цій точці, границя функції, як ми знаємо, зовсім не обов’язково дорівнює значенню . У випадку неперервності ці особливості зникають. Функція визначена у точці , і границя функції при дорівнює значенню функції в точці .

Враховуючи, що , можна третю умову неперервності записати так:

.

Тобто знаки границі і неперервної функції можна змінювати місцями.

Можна дати інше означення неперервності функції у точці. Позначимо як різницю і назвемо цю величину приростом аргументу у точці . Якщо , то і навпаки. Різниця відповідних значень функції називається приростом функції у точці і позначається (рис. 44).

Рис. 44.

Тепер, оскільки , то

.

Таким чином, функція називається неперервною у точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

Геометрично факт неперервності функції у точці означає, що в околі точці графік функції є суцільною лінією.

Приклади.

1. Довести, що функція неперервна у будь якій точці числової прямої.

Візьмемо довільне і надамо нескінченно малий приріст . Тоді функція отримає приріст:

.

Величина – нескінченно мала при як добуток обмеженої функції на нескінченно малу , а – нескінченно мала як добуток двох нескінченно малих. Отже – нескінченно мала як сума двох нескінченно малих, а це й означає неперервність функції у точці .

2. Довести, що функція

неперервна у точці .

Функція визначена на , і виконано нерівність

, оскільки при . Отже , тобто функція неперервна в точці .

3. Довести, що функція

не є неперервною у точці .

Надамо значенню аргументу нескінченно малий додатний приріст . Тоді функція отримає приріст:

, а ця величина не є нескінченно малою при . Отже наша функція не є неперервною у точці .

Функції, неперервні в точці, мають деякі прості властивості, які являються наслідками відповідних властивостей границь функцій (див. п. 20).

Властивість 1. Якщо функція неперервна в точці , то ця функція обмежена в деякому околі точки .

Властивість 2. Якщо функція неперервна в точці , причому , то існує окіл точки , у якому знак функції співпадає зі знаком .

Властивість 3. Якщо функції , неперервні в точці , то функції , також неперервні в точці . Якщо , то функція також неперервна в точці .

Властивість 4 (неперервність складеної функції). Нехай функція неперервна в точці , причому , а функція неперервна в точці , то складена функція неперервна в точці .

Доведення. Надамо значенню приріст . Тоді функція отримає приріст . Функція у свою чергу отримає приріст . Оскільки функція неперервна в точці , то . А оскільки функція неперервна в точці , то . Отже

, тобто функція неперервна в точці .

За аналогією з однобічними границями функції вводиться поняття однобічної неперервності функції в точці.

Означення. Функція називається неперервною зліва в точці , якщо таке, що функція визначена на півінтервалі , та існує . Функція називається неперервною справа в точці , якщо таке, що функція визначена на півінтервалі , та існує .