25. Перша і друга важливі границі. Супутні границі.
Теорема (перша важлива границя).
.
(25.1)
Доведення. Скористаємось нерівністю (24.1). Внаслідок неперервності функції маємо:
.
Переходячи
тепер в нерівності (24.1) до границі при
,
на підставі теореми про проміжну функцію
отримуємо рівність (25.1).
Наслідки.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
(аналогічно попередньому).
Теорема (друга важлива границя).
.
(25.2)
Доведення. В п. 12 ми довели співвідношення (12.4):
,
де
– число Ейлера. Покажемо, що якщо
– довільна (не обов’язково
зростаюча) послідовність натуральних
чисел така, що
,
(25.3) то
.
(25.4)
Позначимо:
.
За означенням границі за (25.2) маємо:
.
(25.5)
З (25.3) маємо:
.
(25.6)
Покладемо
в (25.6)
.
Тоді для
,
де
виконано
,
і тому з (25.5) випливає, що
для
,
тобто справедлива рівність (25.4).
Для доведення рівності (25.2) достатньо показати, що
,
(25.7) де
.
Нехай
– довільна послідовність така, що
,
і
для
.
Не обмежуючи загальності, можна вважати,
що
.
Позначимо:
,
де
– ціла частина числа
.
Тоді:
,
(25.8) звідки
.
(25.9)
Оскільки всі частини подвійної нерівності (25.9) більші за 1, то з (25.8), (25.9) випливає, що:
.
(25.10)
З
умови
при
випливає, що
.
Тому, використовуючи (25.4), матимемо:
,
.
З нерівності (25.10) і з теореми про три послідовності тоді маємо:
.
А тоді згідно означенню границі функції за Гейне:
.
Доведемо тепер, що й
.
Нехай
– довільна послідовність така, що
,
і
.
Тоді, покладаючи
,
отримуємо
,
.
Зауважимо, що
.
Позначимо:
,
тоді
,
.
Отже, згідно попередньому:
.
Отже умови (25.7) виконано. Звідси випливає (25.2).
Теорему доведено.
Наслідок.
Якщо
таке, що
:
,
і
,
то
.
(25.11)
Зокрема
.
(25.12)
Поряд з першою та другою важливою границею мають місце наступні границі, які називаються супутніми.
Перша супутня границя.
.
(25.13)
Доведення. Розглянемо функцію:
Ця
функція визначена в деякому околі точки
і неперервна в цій точці. Тому функція
неперервна в точці
як суперпозиція двох неперервних
функцій. Отже:
,
тобто
рівність (25.13) доведено.
Наслідок.
.
Дійсно:
.
Друга супутня границя.
.
(25.14)
Доведення.
Функція
неперервна і зростаюча на
,
отже на проміжку
існує обернена до неї функція
– неперервна і зростаюча. З огляду на
те, що
при
матимемо:
.
Наслідок.
,
.
Дійсно,
подамо
у вигляді:
.
Тоді
.
Третя супутня границя.
.
(25.15)
Доведення.
Розглянемо функцію
.
На множині
існує обернена до неї функція
,
причому
,
отже
при
.
Тому
,
і
на підставі (25.13) отримуємо (25.15).