1. Определение многочлена, приведение многочлена к стандартному виду

Напомним определение многочлена: многочленом называют алгебраическую сумму одночленов.

Пример: 

Мы знаем, что каждый одночлен можно привести к стандартному виду, выполним это:

Напомним, что если у одночленов одинаковая буквенная часть – то их можно складывать, таким образом, приводя многочлен к стандартному виду:

Полученный многочлен можно разложить на множители, в данном случае методом вынесения общего множителя:

Напомним, что, при вынесении общего множителя, на него делится каждый член многочлена и результат записывается в скобках, а общий множитель –за скобками.

2. Разложение многочлена на множители, вынесение общего множителя

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Рассмотрим примеры:

Пример 1: найти  :

Итак, выполним требуемое действие:

Пример 2: вычислить значение выражения при  :

Напомним, что для умножения многочлена на одночлен нужно каждый член многочлена умножить на одночлен:

Приведем в полученном выражении подобные члены:

Подставим заданное значение х:

Вспомним операцию деления многочлена на одночлен.

Пример 3:

1 способ: разделить каждый член многочлена на одночлен:

Необходимо отметить, что  , в противном случае данное выражение не имеет смысла.

2 способ: разложить числитель на множители и сократить дробь:

Пример 4: решить уравнение:

Напомним, что для умножения многочлена на многочлен нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена:

Приведем подобные члены, соберем неизвестные слева, а свободные члены – справа:

3. Решение типовых задач

Одна из типовых задач – текстовые задачи, где нужно сначала составить уравнение, а потом его решить.

Пример 5: найдите 4 последовательных натуральных числа, если известно, что разность между произведением двух больших и двух меньших чисел равна 58.

Для решения задачи применим метод математического моделирования.

Этап 1 – составление математической модели:

Обозначим первое из четырех чисел за  , тогда остальные числа запишем как  ,  ,  , так как первое из четырех последовательных натуральных чисел является наименьшим, а каждое следующее отличается от предыдущего на единицу. Произведение двух больших чисел в таком случае равно  , а произведение двух меньших –   . В условии сказано, что разность между произведением двух больших и двух меньших чисел равна 58. Составим уравнение:

Математическая модель составлена.

Этап 2 – работа с математической моделью:

В данном случае работа заключается в решении линейного уравнения с одним неизвестным. Для этого упростим составленное выражение, выполним умножение:

Соберем неизвестные слева, а свободные члены – справа и приведем подобные:

Из полученного элементарного уравнения найдем n:

Этап 3 – ответ на вопрос задачи:

Было задано найти четыре последовательных натуральных числа, удовлетворяющих условию. Первое из чисел мы обозначили за n, нашли  , таким образом, нужная нам последовательность – это числа: 13, 14, 15, 16.